Muster und Alignments in zufälligen Zeichenketten - Abteilung für ...

48 Kapitel 3. Scan-Statistiken mit variabler Fenstergröße
4) Var ( ∑ n
k=1 a n,kI w (k) ) = 1, nach Definition der a n,k .
Damit lässt sich Theorem 2.2(a) aus Peligrad und Utev [65] anwenden. Es
folgt Behauptung b):
1
σ n
α T X n =
n∑ (
a n,k Iw (k) − π w) −→ D
N (0, 1).
k=1
Aus den Eigenschaften der Brownschen Bewegung folgt, dass α T X normalverteilt
ist, da es sich um eine gewichtete Summe von Zuwächsen von B handelt. Somit
wurde gezeigt, dass:
1
σ 0
√ n
α T X n =
σ n
σ 0
√ n ·
1
σ n
α T X n
D
−→ √ Var(α T X)N (0, 1) d = α T X.
−→ X und damit die Behaup-
✷
1
Mit Theorem 7.7 in Billingsley [17] folgt
tung.
σ 0
√ n
X n
D
Damit wurde die Konvergenz der endlichdimensionalen Randverteilungen gezeigt,
falls r n von oben gegen einen positiven Grenzwert konvergiert. In Verbindung mit
der in Abschnitt 3.3 bewiesenen Straffheit erhält man den ersten Teil von Satz 3.1.
3.4.2 Der Fall r n ↘ 0
In diesem Abschnitt werden die endlichdimensionalen Randverteilungen des
Grenzprozesses untersucht, wenn die Fenstergröße gegen 0 konvergiert. Wie erwartet,
erhält man in diesem Fall im Allgemeinen keinen stetigen Grenzprozess
mehr.
Satz 3.9
Sei X eine stationäre, ϕ-mischende Zeichenfolge und für die Fenstergröße r n gelte
r n ↘ 0 und r n n −→ ∞. Dann konvergieren die endlichdimensionalen Randverteilungen
der Scan-Statistik (r n n) − 1 2 D n gegen unabhängige Normalverteilungen,
das heißt für d ɛ N und Zeitpunkte t 1 , . . . , t d ɛ [0, 1] gilt:
1
√
rn n
⎛ ⎞
D n (t 1 )
⎜ ⎟
⎝ . ⎠
D n (t d )
D
−→ N (0, σ 2 0 I d ).
Dabei bezeichnet I d ɛ R d×d die d-dimensionale Einheitsmatrix.