Muster und Alignments in zufälligen Zeichenketten - Abteilung für ...

30 Kapitel 2. Vergleich zweier Zeichenketten
Wegen der Wahl von (Ba) ∗ a ɛ I ∗ folgt mit Arratia, Goldstein und Gordon [4, Abschnitt
3.1] b ∗ 1 = b 1 und b ∗ 2 = b 2 , so dass im Folgenden die Konstanten b 1 und b 2
bezüglich ( )
I U i,j,ζ betrachtet werden:
(i,j,ζ) ɛ I
b 1 = ∑ a ɛ I
b 2 = ∑ a ɛ I
∑
P (I U a = 1) P (I U b = 1) und
b ɛ B a
∑
P (I U a = 1, I U b = 1).
b ɛ B a\{a}
Diese stimmen jedoch mit den Konstanten aus Dembo, Karlin und Zeitouni [34,
Seite 2031] überein, so dass man aus [34, Gleichung (2.11)] erhält, dass b 1 −→ n→∞
0
und aus [34, Lemma 2], dass b 2 −→ n→∞
0 für hinreichend kleine δ > 0.
Hieraus folgt mit Satz 2.6:
d TV
((
I
∗U
(a,k)
)
(a,k) ɛ I ∗ , (˜P∗ (a,k)
)(a,k) ɛ I ∗ )
≤ 4(b1 + b 2 ) −→ n→∞
0.
Das ist die Behauptung.
✷
In der folgenden technischen Proposition wird die Konvergenz zweier Poisson-
Prozesse auf die Konvergenz der Intensitätsmaße zurückgeführt:
Proposition 2.9
Ist (˜P∗ a der Poisson-Prozess mit Intensitätsmaß
)a ˜Q ∗ (A ∗ ) = ∑ ɛ I ∗ a ɛ A
E ∗ I ∗U
a , für
alle A ∗ ⊂ I ∗ aus Lemma 2.8 und ( )
P ∗ a der Poisson-Prozess mit Intensitätsmaß
a ɛ I ∗
Q ∗ , gegeben durch:
Q ∗ (A ∗ ) := ∑ a ɛ A ∗ λ ∗ a, für alle A ∗ ⊂ I ∗ ,
λ ∗ (q,k)
:=
K∗
m 2 nl n
[
exp ( − x (k)) − exp ( − x (k−1))] , für alle (q, k) ɛ I ∗ .
Dann konvergiert d TV
(
(˜P∗ a ) a ɛ I ∗, (P ∗ a) a ɛ I ∗)
−→
n→∞
0.
Beweis:
Die Totalvariation der beiden Poisson-Prozesse wird mit Reiss [74, Theorem 3.2.2]
abgeschätzt. Sei ν 0 ɛ M(I ∗ ) das Zählmaß ν 0 (B) = |B| für alle B ⊂ I ∗ . Wegen
|I ∗ | = m 2 nl n d ist ν 0 endlich. Des Weiteren ist E I ∗U
·
Dichte von ˜Q ∗ bezüglich ν 0
und λ ∗· Dichte von Q∗ bezüglich ν 0 .
Um unnötige Fallunterscheidungen zu vermeiden, sei t (0)
n
= x (0) : = ∞. Da die