Muster und Alignments in zufälligen Zeichenketten - Abteilung für ...

2.3. Poisson Approximation 25
Die Konvergenz der Verteilung der d größten Scores erhält man hieraus wie folgt:
P ( )
M n (1) > t (1)
n ≥ M n
(2) > · · · > t (d−1)
n ≥ M n
(d) > t (d)
n
= P ( N n
(1) = 1, . . . , N n
(d−1) = 1, N n (d) ≠ 0 )
−→ n→∞
P λ (1)({1}) · · · P λ (d−1)({1})P λ (d)({0} c )
∏d−1
( ∑d−1
) (1
= λ (k) exp − λ (k) − exp(−λ (d) ) ) .
k=1
k=1
Durch Einsetzen von λ (k) := K ∗( )
e −x(k) − e −x(k−1) folgt auch die zweite Behauptung.
✷
Bemerkung:
Die Berechnung der Doppel-Exponentialterme in obigen Formeln ist numerisch
problemlos. Um die Approximation anwenden zu können, muss man jedoch auch
die Konstante K ∗ bestimmen beziehungsweise numerisch approximieren. Für den
hier untersuchten Fall wird die Konstante in Karlin und Dembo [54, Theorem A]
angegeben mit:
K ∗ =
(
exp − 2 ∑ ∞
k=1
{
1
k E[exp(Θ ∗ S k )1 {Sk