Muster und Alignments in zufälligen Zeichenketten - Abteilung für ...

74 Kapitel 5. Das ”
Hidden ϕ-/ψ-Mixing“ Modell
Die letzte Summe konvergiert nach Voraussetzung, somit folgt die Behauptung.
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Mithilfe dieser Proposition lassen sich nun die Kovarianzen untersuchen:
Lemma 5.3
Sind obige Voraussetzungen erfüllt und es konvergiert ∑ ∞
i=1
ϕ(i) < ∞, so konvergiert
für Wörter v ɛ A k und w ɛ A l die Kovarianz, das heißt es existiert σ v,w ɛ R,
so dass:
1
n Kov(N v n, N w n ) −→ n→∞
σ v,w .
Beweis:
Für n ɛ N lässt sich die Kovarianz wie folgt zerlegen:
[
1
n Kov(N n, v Nn w ) = 1 n∑ ∑i−l
Kov(I v (i), I w (j)) +
n
i=1 j=1
n∑
+
j=i+k
i+k−1
∑
j=i−l+1
Kov(I v (i), I w (j))
Kov(I v (i), I w (j))
Aus Proposition 5.2 folgt für den letzten Summanden aus Gleichung (5.2.2):
1
n
n∑
n∑
i=1 j=i+k
Kov ( I v (i), I w (j) ) = 1 n
∑n−k
i=1
−→ n→∞
C v,w .
n−i−k
∑
s=0
]
Kov ( I v (i), I w (i + k + s) )
.
(5.2.2)
Analog konvergiert aus Symmetriegründen auch der erste Summand in Gleichung
(5.2.2) absolut:
1
n
n∑ ∑i−l
Kov(I v (i), I w (j)) = 1 n
i=1
j=1
∑n−l
j=1
−→ n→∞
C w,v .
n−l−j
∑
s=0
Kov ( I v (j + l + s), I w (j) )
Die innere Summe des zweiten Summanden ist jedoch endlich, so dass man für
diesen
1
n∑
i+k−1
∑
∣ Kov(Iv (i), I w (j)) ∣ 1
n∑
≤ (k + l − 1)
n
n
i=1 j=i−l+1
i=1
= k + l − 1
erhält und damit insbesondere absolute Konvergenz. Somit ist die Konvergenz
der auftretenden Reihen gesichert, durch Summation über diese folgt mit Gleichung
(5.2.2) die Behauptung.
✷