Muster und Alignments in zufälligen Zeichenketten - Abteilung für ...

2.3. Poisson Approximation 31
(M U a ) a ɛ I identisch verteilt sind, folgt aus Reiss [74, Theorem 3.2.2]:
( )
d TV (˜P∗ a ) a ɛ I ∗, (P ∗ a) a ɛ I ∗
≤ 3 ∑ ∣ E I
∗U
2
a − λ ∗ ∣
a
a ɛ I ∗
∣
= 3 ∑ ∣∣∣∣
P (Mq
U > t (k)
n ) − K∗ e −x(k)
− P (M
2
m 2 q U > t (k−1)
n
(q,k) ɛ I
nl n ∗ ≤ 3m 2 ∣
nl n d max ∣P ( )
M(0,0,0) U > t (k) K ∗
n − exp ( − x (k))∣ ∣ k ɛ {1,...,d}
m 2 nl n
∣
= 3d max ∣m 2 nl n P ( )
M(0,0,0) U > t (k) − K ∗ exp ( − x (k))∣ ∣ ∣.
k ɛ {1,...,d}
n
∣
) + K∗ e ∣∣∣∣ −x(k−1)
m 2 nl n
Der Term im Betrag entspricht aber gerade dem in Dembo, Karlin und Zeitouni
[34, Gleichung (2.11)] abgeschätzten. Da d ɛ N fest ist, folgt daraus die Behauptung.
✷
Aus den in diesem Abschnitt gezeigten Aussagen ergibt sich Satz 2.5 und somit
die Konvergenz der d größten Scores gegen unabhängige Gumbel-Verteilungen.