Muster und Alignments in zufälligen Zeichenketten - Abteilung für ...

2.2. Starkes Gesetz großer Zahlen 15
Definition 2.2
Für die Länge l ɛ N und das Wort w = w 1 · · · w l ɛ A l ist die empirische Verteilung
L l (w) = ( L l (w) 1 , . . . , L l (w) ξ
)
von w gegeben durch:
L l (w) k := 1 l
l∑
1 {wi }(k) für alle k ∈ {1, . . . , ξ}.
i=1
2.2 Starkes Gesetz großer Zahlen
Gegenstand dieses Abschnitts ist ein starkes Gesetz großer Zahlen für die d
größten Scores. Dies ist eine Verallgemeinerung von Dembo, Karlin und Zeitouni
[33, Theorem 3 und 4].
Satz 2.3
Es gelten die Voraussetzungen aus Abschnitt 2.1. Dann verhalten sich die d
größten Scores asymptotisch logarithmisch, das heißt für alle k ɛ {1, . . . , d} gilt:
M n
(k)
log n −→ 2
n→∞
Θ . ∗
Insbesondere unterscheiden sich also die d größten Scores bei logarithmischer
Normierung asymptotisch nicht.
Beweis:
Sei d ɛ N fest. Nach Definition der ( M n
(k) )1≤k≤d gilt M n = M n
(1) ≥ . . . ≥ M n (d) .
In Dembo, Karlin und Zeitouni [33, Theorem 3 und 4] wurde für den maximalen
M
Score gezeigt, dass lim sup n
≤ 2
n→∞ ist. Somit reicht es zu zeigen, dass
log n Θ ∗
lim inf
n→∞
M (d)
n
log n ≥ 2 Θ ∗
gilt. Hierzu werden die Zeichenketten X und Y in Blöcke der Länge l ɛ N aufgeteilt
und bewiesen, dass in den Diagonalen dieser Blöcke bereits ausreichend große
Scores vorkommen.
Seien also l, n ɛ N, l ≤ n, n ∗ := l⌊ n⌋ und γ ɛ M l l(A 2 ). Da M n
(d) monoton wachsend
in n ist, wird hier ohne Einschränkung von n = n ∗ ausgegangen. Zunächst wird
die ( Wahrscheinlichkeit dafür abgeschätzt, dass weniger als d Blöcke der Form
(Xil+1 , Y jl+1 ), . . . , (X (i+1)l , Y (j+1)l ) ) , i, j ɛ {0, . . . n −1} mit empirischer Verteilung
l
γ vorkommen.