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84 Kapitel 5. Das ” Hidden ϕ-/ψ-Mixing“ Modell c) Eine ” Encoding-Abbildung“ σ : I → A, so dass σ| Ia = a für alle a ɛ A konstant ist. d) Eine ” Shift-Abbildung“ T : I → I, so dass T | Ia ein Diffeomorphismus ist, das heißt T | Ia ɛ C 1 (I a ; I) und (T | Ia ) −1 ɛ C 1 (I; I a ). In den erwähnten Artikeln zu Dynamischen Quellen werden des Weiteren analytische Eigenschaften der Shift-Abbildung T vorausgesetzt. In der Regel werden diese Voraussetzungen unmittelbar zu Teil d) obiger Definition hinzugefügt. Abweichend davon wird hier die Definition von ” expandierend und analytisch“ von Bourdon und Vallée [20] beziehungsweise die um (d4) erweiterte Fassung von Chazal, Maume-Deschamps und Vallée [24] angegeben: Definition 5.9 Eine Dynamische Quelle S ist expandierend und analytisch, falls für alle a ɛ A die Shift-Abbildung T | Ia eine reelle analytische Bijektion ist und es eine komplexe Umgebung des Einheitsintervalls I ⊂ V ⊂ C 2 gibt, so dass für alle h a := (T | Ia ) −1 , a ɛ A gilt: (d1) Es existiert eine holomorphe Fortsetzung von h a auf V , die der Einfachheit wegen wieder mit h a bezeichnet wird und für die gilt: h a (V ) ⊂ V . (d2) Es existiert eine holomorphe Fortsetzung ˜h a von |h ′ a| auf V und α a > 0, δ a < 1, so dass α a < |˜h a (z)| ≤ δ a für alle z ɛ V . (d3) Die Reihe ∑ a ɛ A δ a konvergiert. (d4) Es gibt eine Konstante A ɛ (0, ∞), so dass h′′ < A für alle x, y ɛ V . (y) a(x) h ′ a Eine allgemeinere Fassung von Definition 5.9 für positive Markovsche Dynamischen Quellen findet man in Chazal und Maume-Deschamps [23, Definition 1]. Mithilfe funktionalanalytischer Methoden wird in [20, Proposition 1] gezeigt, dass jede expandierende und analytische Dynamische Quelle ergodisch und exponentiell schnell mischend ist. Somit sind die Voraussetzungen von Satz 5.4 erfüllt, so dass sich folgendes Korollar ergibt: Korollar 5.10 Sei (A, (I a ) a ɛ A , σ, T ) eine expandierende und analytische Dynamische Quelle mit emittierter Zeichenfolge Y. Sind die Wörter w 1 , . . . , w m ɛ A ∗ , m ɛ N so, dass die Matrix Σ : = (σ wp,w q ) p,q=1,...,m mit σ v,w wie in Lemma 5.3 positiv definit ist, so konvergiert der normierte Häufigkeitsprozess Z n (mit Z n wie in Satz 5.4) in Verteilung gegen eine m-dimensionale Brownsche Bewegung mit Kovarianzmatrix Σ.
Literaturverzeichnis 85 Literaturverzeichnis [1] Aki, Sigeo: Empirical processes for occurences of a {0, 1}-pattern. Preprint, 2004. presented at 2nd International Workshop in Applied Probability (IWAP 2004), Athens, Greece. [2] Aldous, David: Probability Approximations via the Poisson Clumping Heuristic. Applied Mathematical Sciences, Band 77. Springer-Verlag, 1989. [3] Arratia, Richard; Goldstein, Larry und Gordon, Louis: Two moments suffice for Poisson approximations: The Chen–Stein method. The Annals of Probability, Band 17, Seite 9–25, 1989. [4] Arratia, Richard; Goldstein, Larry und Gordon, Louis: Poisson approximation and the Chen–Stein method. Statistical Science, Band 5, Seite 403–434, 1990. [5] Arratia, Richard; Gordon, Louis und Waterman, Michael S.: The Erdös–Rényi law in distribution, for coin tossing and sequence matching. The Annals of Statistics, Band 18, Seite 539–570, 1990. [6] Arratia, Richard und Waterman, Michael S.: Critical phenomena in sequence matching. The Annals of Probability, Band 13, Seite 1236–1249, 1985. [7] Arratia, Richard und Waterman, Michael S.: An Erdös–Rényi law with shifts. Advances in Mathematics, Band 55, Seite 13–23, 1985. [8] Arratia, Richard und Waterman, Michael S.: A phase transition for the score in matching random sequences allowing deletions. The Annals of Applied Probability, Band 4, Seite 200–225, 1994. [9] Balacheff, Serge und Dupont, Ghislain: Normalité asymptotique des processus empirique tronqués et des processus de rang (cas multidimensionnel mélangeant). In: Dold, A. und Eckmann, B. (Herausgeber): Statistique non Paramétrique Asymptotique. Lecture Notes in Mathematics, Band 821, Seite 19–45, 1979.
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Muster und Alignments in zufällige
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i Einleitung Die Fortschritte der M
Seite 5 und 6:
iii Mithilfe der Stein-Chen-Methode
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v in ein neues allgemeineres Modell
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viii Inhaltsverzeichnis 5 Das Hidde
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2 Kapitel 1. Bezeichnungen und Grun
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Seite 20 und 21:
10 Kapitel 2. Vergleich zweier Zeic
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Seite 44 und 45: 34 Kapitel 3. Scan-Statistiken mit
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Seite 80 und 81: 70 Kapitel 5. Das ” Hidden ϕ-/ψ
Seite 96 und 97: 86 Literaturverzeichnis [10] Balakr
Seite 98 und 99: 88 Literaturverzeichnis [35] Dembo,
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Seite 102: 92 Literaturverzeichnis [85] Siegmu
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