Muster und Alignments in zufälligen Zeichenketten - Abteilung für ...

4.4. Fehlerabschätzungen 67
Beweis:
Mit m : = ⌈ 4√ nc
⌉ ɛ C 1 ε N und b : = c ɛ [ 1
, C 1ε
m n 4 n) √ folgt aus Lemma 4.13 und Lemma
4.12:
(
)
∣
P sup ∣Z n (p) − Z n (q) ∣ ≥ ε
≤
p ɛ [q,q+mb]
[ (
∑
P
r ɛ {0,...,m−1} ξ−1
+ P
sup
p ɛ [q+br,q+b(r+1)]
∣
∣
∣Z n (p) − Z n (q + br)
( ∣∣Zn
(q + br) − Z n (q) ∣ ε
) ]
≥
2
≤ m ξ−1 [
2 4 C 2
ε 4 b 2 + 24 C(l)(C 1 + 1)C 1
ε 4 (
(m − 1)b
) 2
]
≤ 16( )
C 2 + C(l)(C 1 + 1)C 1
m ξ−1 (mb) 2 .
ε 4
Mit der Definition von b, c und C 3 folgt die Behauptung.
∣ ≥ ε 2
)
✷
Bemerkung:
Im Vorangegangenen wurde die Variation von Z n auf einem Würfel durch die
Kantenlänge des Würfels abgeschätzt. Durch analoge Vorgehensweise lässt sich
auch der Zuwachs von Z n auf einem Quader R : = (p, q] ⊂ [0, 1] ξ−1 , wie etwa
von Bickel und Wichura in [16] definiert, durch das Lebesgue-Maß des Würfels
abschätzen:
1) Für den Quader R ⊂ [0, 1] ξ−1 mit den Eckpunkten {(p k +ε k (q k −p k )) k=1,...,ξ−1 |
ε 1 , . . . , ε ξ−1 ɛ {0, 1}} und eine Funktion g : [0, 1] ξ−1 → R ist der Zuwachs von
g über dem Quader R definiert als:
g(R) :=
1∑
ε 1 ,...,ε ξ−1 =0
(−1) ξ−P ξ−1
i=1 ε i
g ( p 1 +ε 1 (q 1 −p 1 ), . . . , p ξ−1 +ε ξ−1 (q ξ−1 −p ξ−1 ) ) .
2) Durch Anwendung des Distributivgesetzes folgt für die in Proposition 4.9 definierte
Funktion Π:
(
ξ−1
∏ ∏
Π(i; D 2 , . . . , D ξ ; R) =
1 {Xi+j−1 ≤q k } − ∏
)
.
k=1
j ɛ D c k ∪D k+1
j ɛ D c k ∪D k+1
1 {Xi+j−1 ≤p k }
3) Mit der Ungleichung von Cauchy–Schwarz ergibt sich analog zu Lemma 4.11:
Var ( I w (1; R) ) ≤ C ′ 1λ \ (R),
wobei C ′ 1 := 2P ξ
k=2 |L k| max k ɛ {1,...,ξ−1}
∣
∣Lk+1 ∪ L k
∣ ∣.