Muster und Alignments in zufälligen Zeichenketten - Abteilung für ...

3.2. Ergebnisse 35
1) r n ↘ r > 0: Als Grenzprozess erhält man (B·+r −B·), insbesondere also einen
stetigen Grenzprozess. Ein Spezialfall hiervon ist durch r n = r für alle n ɛ N
gegeben, was auch mit dem Invarianzprinzip für mischende Folgen gezeigt
werden kann.
2) r n ↘ 0, nr n −→ ∞: In diesem Fall bleibt die Stetigkeit nicht erhalten. Man
erhält, dass die endlichdimensionalen Randverteilungen des Grenzprozesses
unabhängig normalverteilt sind. Dieses Ergebnis ist wenig überraschend, da
r n −→ 0 nicht nur bedeutet, dass sich zwei beliebige unterschiedliche Fenster
im Limes nicht überlappen, sondern auch, dass der Abstand zwischen den
Fenstern mindestens linear wächst, was mit der Mischungseigenschaft der X i
zu unabhängigen Randverteilungen führt.
3) nr n → R: Für den Fall, dass die Anzahl der Zeichen im Scan-Fenster asymptotisch
konstant ist, gibt es umfangreiche Literatur, siehe beispielsweise die
Bücher von Glaz und Balakrishnan [47] beziehungsweise Balakrishnan und
Koutras [10] oder die Artikel von Dembo und Karlin [32], Chen und Karlin
[25] beziehungsweise Pozdnyakov, Glaz, Kulldorff und Steele [69]. Daher
wird dieser Fall im Folgenden nicht weiter behandelt.
Der folgende Satz fasst die wichtigsten Resultate dieses Kapitels zusammen. Unter
allgemeinen Voraussetzungen an die Fenstergröße wird ein funktionaler Zentraler
Grenzwertsatz für die Scan-Statistik bei geeigneter Normierung gezeigt:
Satz 3.1
Seien die Voraussetzungen aus Abschnitt 3.1 erfüllt und die Folge (r n ) n ɛN ⊂ (0, 1)
sei monoton fallend.
−→ D
B·+r − B·
1
1) Gilt r n −→ n→∞
r > 0, so folgt: √
σ 0 n
D n
in D[0, 1].
Der Grenzprozess X t = B t+r − B t , t ɛ [0, 1] ist ein stationärer Gauß-Prozess
mit Kovarianz E X s X t = s + r − min{t, s + r} für alle 0 ≤ s ≤ t ≤ 1.
1
2) Gilt r n −→ n→∞
0 und nr n −→ n→∞
∞, so folgt: √ D D f
σ 0 rnn n −→ D, wobei D ein Prozess
mit unabhängigen normalverteilten Randverteilungen ist.
Aus Teil 1 dieses Satzes ergibt sich für die maximale Scan-Statistik
1
T n := sup √ D n (t)
t ɛ [0,1] σ 0 n
unmittelbar die folgende Aussage:
Korollar 3.2
Es gelten die Voraussetzungen aus Abschnitt 3.1. Weiterhin konvergiere r n von
oben gegen einen echt positiven Grenzwert r > 0. Dann folgt:
T n
D
−→ sup
t ɛ [0,1]
(
Bt+r − B t
)
.