Muster und Alignments in zufälligen Zeichenketten - Abteilung für ...

2.3. Poisson Approximation 27
2.3.2 Beweis von Satz 2.5
Analog zu Dembo, Karlin und Zeitouni [34] und Hansen [50, Kapitel 5] wird
die Stein–Chen-Methode zur Poisson Approximation angewandt. Um die Unabhängigkeit
der verschiedenen Maxima zu erhalten, wird jedoch die Prozessversion,
wie sie in Abschnitt 2.3.1 vorgestellt wurde, benutzt.
Dafür wird zunächst der Punktprozess J ∗ definiert, der die Überschreitungen der
Schwellen (t (k)
n ) 1≤k≤d beschreibt. Für alle a ɛ E n , k ɛ {1, . . . , d} sei:
J ∗ (a,k) := 1 .
{t (k)
n t (k)
n = J ∗ (a,k) ≥ k ,
a ɛ E n i=1 a ɛ E n
so dass im Folgenden (J ∗ (a,k) ) a ɛ E n,k ɛ {1,...,d} untersucht wird.
Wie in Dembo, Karlin und Zeitouni [33, Lemma 1] gezeigt wird, leisten lange Segmente
einen vernachlässigbaren Beitrag zu positiven Scores, das heißt, es existiert
eine Konstante c 0 > 0, so dass für alle n ɛ N gilt:
(
)
l∑
P sup s(X i+k , Y j+k ) ≥ 0 ≤ 1 n . 2
l≥c 0 log n
i,j ɛ {0,...,n−l}
k=1
Aufgrund dieser Eigenschaft genügt es, kurze Segmente zu betrachten. Diese Beschränkung
der zu untersuchenden Alignments geht in die folgenden Definitionen
ein und wird verwendet, um die Abhängigkeiten kontrollieren zu können.
Wie bisher werden die Zeichenketten wieder in unabhängige Blöcke aufgeteilt.
Die Länge der Blöcke ist hier l n : = (log n 2 ) 3 , die Anzahl der Blöcke m n : = n l n
.
Ohne Einschränkung sei n ɛ N hinreichend groß, so dass c 0 log n ≤ l n .
Um lokales Sequence Matching zu untersuchen, müssen Verschiebungen der Zeichenketten
gegeneinander betrachtet werden. Analog Dembo, Karlin und Zeitouni
[34] werden hier die Zeichen in den Blöcken der Folge Y zyklisch verschoben,
um eine gesonderte Untersuchung von sogenannten Randeffekten zu umgehen.
Für ζ ɛ {0, . . . , l n −1} werden diese sogenannten ζ-zyklisch-verschobenen Blöcke“
”
X i := (Xh i ) h=1,...,m n
und Y j,ζ := (Y j,ζ
h ) h=1,...,m n
definiert durch:
Xh i := X il n+h, für alle i ɛ {0, . . . , m n − 1}, h ɛ {1, . . . , l n − 1},
Y j,ζ
h
:= Y jln+(ζ+h) mod l n
, für alle j ɛ {0, . . . , m n − 1}, h ɛ {1, . . . , l n − 1}.
Hansen [50, Abschnitt 5.4] nimmt statt dessen eine Unterteilung in Streifen vor
und betrachtet dann ”
diagonals-within-a-strip“. Hier sollen jedoch die ζ-zyklischverschobenen
Blöcke verwendet werden, um die Resultate aus Dembo, Karlin und
Zeitouni [34] direkt anwenden zu können.