Muster und Alignments in zufälligen Zeichenketten - Abteilung für ...

84 Kapitel 5. Das ”
Hidden ϕ-/ψ-Mixing“ Modell
c) Eine ”
Encoding-Abbildung“ σ : I → A, so dass σ| Ia = a für alle a ɛ A konstant
ist.
d) Eine ”
Shift-Abbildung“ T : I → I, so dass T | Ia ein Diffeomorphismus ist, das
heißt T | Ia ɛ C 1 (I a ; I) und (T | Ia ) −1 ɛ C 1 (I; I a ).
In den erwähnten Artikeln zu Dynamischen Quellen werden des Weiteren analytische
Eigenschaften der Shift-Abbildung T vorausgesetzt. In der Regel werden
diese Voraussetzungen unmittelbar zu Teil d) obiger Definition hinzugefügt.
Abweichend davon wird hier die Definition von ”
expandierend und analytisch“
von Bourdon und Vallée [20] beziehungsweise die um (d4) erweiterte Fassung
von Chazal, Maume-Deschamps und Vallée [24] angegeben:
Definition 5.9
Eine Dynamische Quelle S ist expandierend und analytisch, falls für alle a ɛ A die
Shift-Abbildung T | Ia eine reelle analytische Bijektion ist und es eine komplexe
Umgebung des Einheitsintervalls I ⊂ V ⊂ C 2 gibt, so dass für alle h a := (T | Ia ) −1 ,
a ɛ A gilt:
(d1) Es existiert eine holomorphe Fortsetzung von h a auf V , die der Einfachheit
wegen wieder mit h a bezeichnet wird und für die gilt: h a (V ) ⊂ V .
(d2) Es existiert eine holomorphe Fortsetzung ˜h a von |h ′ a| auf V und α a > 0,
δ a < 1, so dass α a < |˜h a (z)| ≤ δ a für alle z ɛ V .
(d3) Die Reihe ∑ a ɛ A δ a konvergiert.
(d4) Es gibt eine Konstante A ɛ (0, ∞), so dass h′′
< A für alle x, y ɛ V .
(y)
a(x)
h ′ a
Eine allgemeinere Fassung von Definition 5.9 für positive Markovsche Dynamischen
Quellen findet man in Chazal und Maume-Deschamps [23, Definition 1].
Mithilfe funktionalanalytischer Methoden wird in [20, Proposition 1] gezeigt, dass
jede expandierende und analytische Dynamische Quelle ergodisch und exponentiell
schnell mischend ist. Somit sind die Voraussetzungen von Satz 5.4 erfüllt, so
dass sich folgendes Korollar ergibt:
Korollar 5.10
Sei (A, (I a ) a ɛ A , σ, T ) eine expandierende und analytische Dynamische Quelle mit
emittierter Zeichenfolge Y. Sind die Wörter w 1 , . . . , w m ɛ A ∗ , m ɛ N so, dass die
Matrix Σ : = (σ wp,w q
) p,q=1,...,m mit σ v,w wie in Lemma 5.3 positiv definit ist, so
konvergiert der normierte Häufigkeitsprozess Z n (mit Z n wie in Satz 5.4) in Verteilung
gegen eine m-dimensionale Brownsche Bewegung mit Kovarianzmatrix
Σ.