Muster und Alignments in zufälligen Zeichenketten - Abteilung für ...

2.1. Voraussetzungen und Definitionen 13
Für n ɛ N definiert man die Menge der Alignments als
A n := { (i, j, l) ɛ (N 0 ) 3 | l ɛ {0, . . . , n}, i, j ɛ {0, . . . , n − l} } .
Dann ist der Score des Alignments (i, j, l) ɛ A n gegeben durch S (i,j,l) : =
∑ l
k=1 s(X i+k, Y j+k ) und der maximale Score durch M n = max a ɛ An S a . Für
i, j ɛ {0, . . . , n} sei
T i,j :=
{ 0, falls i = 0 oder j = 0,
(
Ti−1,j−1 + s(X i , Y j ) ) +
, sonst.
Für eindimensionale Indexmengen {0, . . . , n} wird der analoge Prozess ˜T 0 : = 0,
˜T i+1 := ( T i + ˜s(X i ) ) +
anschaulich als Spiegelung an der 0 bezeichnet. Ebenso wie
max 0≤i≤j≤n
∑ j
k=i+1 ˜s(X i) = max i ɛ {0,...,n} ˜Ti gilt, erhält man:
M n = max S a = max T i,j .
a ɛ A n i,j ɛ {0,...,n}
Diese Darstellung bietet aus algorithmischer Sicht insbesondere bei Sequence
Matching mit Gaps sehr große Vorteile, da die Rechenzeit durch Implementierung
obiger Darstellung drastisch sinkt. Dies liegt darin begründet, dass über
weniger Variablen maximiert wird, vergleiche hierzu etwa Waterman [94, Kapitel
9] oder Szpankowski [91, Abschnitt 1.5]. Darauf soll hier jedoch ebenso
wenig eingegangen werden, wie auf die Ableitung des in der Praxis verwendeten
Smith–Waterman-Algorithmus aus dieser Darstellung.
In Anlehnung an die Definition der Exkursionen in Karlin und Dembo [54, Gleichung
(1.4)] oder Hansen [50, Definition 5.2.2] wird das Alignment (i, j, l) ɛ A n
genau dann als relevantes Alignment“ bezeichnet, wenn es folgende Bedingungen
”
erfüllt:
• S (i,j,l) ≥ S (i,j,k) für alle k ɛ {0, . . . , max{l ′ | S (i,j,l ′ ) > 0}}
• T i,j = 0 oder es existieren s ɛ {0, . . . , min{i, j}}, l ′ ɛ {1, . . . , s}, so dass gilt:
(i − s, j − s, l ′ ) ist relevantes Alignment und
T i,j ≤ T i−k,j−k für alle k ɛ {1, . . . , s − l ′ }
• S (i,j,k) > 0 für alle k ɛ {1, . . . , l − 1}
Anschaulich bedeutet die erste Bedingung, dass der Score durch Verlängern oder
Verkürzen des Alignments nicht vergrößert werden kann, die zweite, dass der
Score durch Verschieben der Startposition (i, j) nicht vergrößert werden kann,
und die letzte sichert, dass die relevanten Alignments möglichst kurz sind.