Muster und Alignments in zufälligen Zeichenketten - Abteilung für ...

4.4. Fehlerabschätzungen 65
Im folgenden Lemma wird die Variation auf einem Würfel abgeschätzt.
Lemma 4.13
Seien q ɛ ∆, γ > 0 und b ɛ R, n ɛ N so, dass B : = [q, q + b] ⊂ [0, 1] ξ−1 . Ist
b ɛ [ 1
, γ
n
)
√
2C 1 n , so gilt:
(
P
sup
p ɛ B
∣ Zn (p) − Z n (q) ∣ ) ≥ γ ≤ C 2
γ 4 b2
mit C 2 := 128 · 2 4 P ξ
k=2 |L k| l 2 (l + 1) 2 (2l + 1) 2 2 l (2 l − 1).
Beweis:
Zunächst wird die Variation zweier beliebiger Punkte in einem Würfel durch die
Variation der Endpunkte abgeschätzt. Man erhält mit Proposition 4.9 für alle
p ɛ B:
|Z n (p) − Z n (q)| = √ 1 ∣ ∣∣
n∑ ( ) ∣
Iw (i, p) − π w
n
p − I w (i, q) − πq
w ∣
Da Π(i; D; p) und λ D p
die Summanden:
i=1
≤ √ 1 ∑
∣ n
D ɛ P
n∑ ( ) ∣
Π(i; D; p) − λ
D
p − Π(i; D; q) + λ D q ∣.
i=1
n∑
∑
• Π(i; D; p) ≤ n Π(i; D; q + b).
i=1
• − n ∑
λ D p
i=1
in p monoton wachsend sind, folgt aus q ≤ p ≤ q + b für
i=1
∑
≤ n ( ∑
λ
D
q+b − λ D q − λq+b) D ≤ n (2 l − 1)b − n λ D q+b ,
i=1
wie im Beweis zu Proposition 4.10.
∑
• − n ( )
Π(i; D; p) − λ
D
p − Π(i; D; q) + λ D q
i=1
∑
≤ n ( ) n∑ ( )
Π(i; D; q) − Π(i; D; p) + λ
D
q+b − λ D q
i=1
≤ n (2 l − 1)b.
Mit V i := Π(i; D; q + b) − λ D q+b − Π(i; D; q) + λD q ergibt sich daraus:
( )
sup |Z n (p) − Z n (q)| ≤ 1 ∑ ∣∣∣ n∑ ∣ ∣∣
√ V i + n(2 l − 1)b
p ɛ B
n
D ɛ P i=1
= √ 1 ∑
n∑ ∣ ∣∣ √ P ξ
∣ V i + n 2 k=2 |Lk| (2 l − 1)b.
n
D ɛ P
i=1
i=1
i=1