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2.2. Starkes Gesetz großer Zahlen 19
abschätzen:
P (W ≤ d−1) ≤ 4ed l 2
(e−1) n 2 (l+1)ξ2 exp ( lH(γ|P (X,Y ) ) )
+ l (
n (l+1)ξ exp ( lH(γ X |P X ) ) + exp ( lH(γ Y |P Y ) ))
(
≤ (l+1)ξ+1 4e d (l + 1) ξ′
exp ( lH(γ|P (X,Y ) ) )
n (e−1) n
(2.2.1)
+ exp ( lH(γ X |P X ) ) + exp ( lH(γ Y |P Y ) )) .
Mit t := (1 − 2ε) 2 soll als nächstes gezeigt werden, dass D ɛ
Θ ∗
R existiert, so dass
für alle ε > 0 und hinreichend große n ɛ N gilt:
P ( M (d)
n ≤ t log n ) ≤ Dn − 1 2 ε2 .
Entscheidend ist hierbei, dass Blöcke mit empirischer Verteilung α ∗ einen hinreichend
großen Score ergeben. So ist nach Definition 2.1:
H(α ∗ | P (X,Y ) ) = ∑
(
)
e Θ∗s(b,c) P (X,Y ) e Θ∗s(b,c) P (X,Y ) (b, c)
(b, c) log
P (X,Y ) (b, c)
b,c ɛ A
= Θ ∑
∗ s(b, c) α ∗ (b, c)
b,c ɛ A
= Θ ∗ E α ∗s.
Für alle n ɛ N betrachtet man nun die Blocklänge l : = l n : = ⌈ (1−ε) log n 2
H(α ∗ |P (X,Y ) )⌉
. Sei
γ (n) ɛ M ln (A 2 ) gegeben durch:
γ (n)
b,c := 1 l n
⌊l n α ∗ b,c⌋, für (b, c) ɛ A 2 \ {(ξ, ξ)} und γ (n)
ξ,ξ := 1 −
∑
γ (n)
b,c .
(b,c) ɛ A 2 \{(ξ,ξ)}
Dann folgt: ∑ ∣ (n)
b,c ɛ A γ
b,c
− α∗ ∣
b,c ≤ 2
ξ 2 −1
l n
. Bezeichnet s M : = max b,c ɛ A s(b, c) das
Maximum der Scoring-Funktion, so gilt:
∑
l n E γ (n) s = l n s(b, c)γ (n)
b,c
b,c ɛ A
= l n
∑
b,c ɛ A
s(b, c)α ∗ b,c − l n
∑
b,c ɛ A
s(b, c) ( αb,c ∗ − γ (n) )
b,c
≥ l n E α ∗ s − 2s M ξ 2
(1 − ε)
≥
H(α ∗ | P (X,Y ) ) log n2 E α ∗ s − 2s M ξ 2
= 2(1 − ε) log n
Θ ∗ − 2s M ξ 2 .