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2.2. Starkes Gesetz großer Zahlen 21
Nach Voraussetzung ist H(α ∗ | P (X,Y ) ) > 2 max { H(α ∗ X |P X ), H(α ∗ Y |P Y ) } , daher
lässt sich der d-größte Score weiter abschätzen:
P ( M (d)
n ≤ t log n )
≤ (l n + 1) ξ+1
n
[
exp
(
1
(1 + ε)l 2 nH ( α ∗ |P
(X,Y )))
+ exp ( (1 + ε)l n H(αX|P ∗ X ) ) + exp ( (1 + ε)l n H(αY ∗ |P Y ) )]
(
≤ 3 (l n + 1) ξ+1 n −1 1
exp (1 + ε)l 2 nH ( α ∗ (X,Y
|P )))
(
)
1−ε
ξ+1n
≤ 3
log H(α ∗ |P (X,Y ) ) n2 −1
+ 2
( (
1−ε
· exp (1 + ε)
log H(α ∗ |P (X,Y ) ) n2 + 1
)H ( α ∗ (X,Y
| P
)))
(
) ξ+1
1−ε
≤ 3
log n + 2 H(α ∗ |P (X,Y ) ) exp
((1 + ε)H ( α ∗ | P (X,Y ))) n −ε2 .
Sei D := 3 exp ( (1 + ε)H(α ∗ | P (X,Y ) ) ) und N 4 ɛ N hinreichend groß, so dass für
alle n ≥ N 4 gilt:
(
) ξ+1
1−ε
log n + 2 1
H(α ∗ |P (X,Y ) ) ≤ n 2 ε2 .
Man erhält für alle n ≥ max{N 1 , N 2 , N 3 , N 4 }
P ( M (d)
n ≤ (1 − 2ε) 2
Θ ∗ log n ) ≤ Dn − 1 2 ε2 .
Die Behauptung wird nun mit dem Lemma von Borel–Cantelli zunächst für eine
Teilfolge, in der Literatur üblicherweise n k -Gerüst genannt, bewiesen. Unter
Zuhilfenahme der Monotonie von M n
(d) wird diese Aussage schließlich für die verbleibenden
Lücken gezeigt, das heißt, es wird bewiesen, dass die Abschätzungen
im Wesentlichen auch außerhalb des n k -Gerüsts gelten.
Mit n k := e k folgt für alle hinreichend großen k ɛ N:
P ( M (d)
n k
≤ (1 − 2ε) 2
Θ ∗ k ) ≤ D ( exp(− 1 2 ε2 ) ) k
,
so dass die Reihe ∑ ∞
k=1 P( M (d)
n k
≤ (1 − 2ε) 2
Θ ∗ k ) konvergiert. Nach dem Lemma
von Borel–Cantelli existiert eine messbare Menge M mit P (M) = 1, so dass auf
M für hinreichend große k gilt:
M (d)
n k
≥ (1 − 2ε) 2
Θ ∗ k.
Sei K ɛ N so groß, dass für alle k ≥ K gilt:
(1 − 2ε)k ≥ (1 − 3ε)(k + 1).