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3.4. Endlichdimensionale Randverteilungen 49
Beweis:
Sei zur Abkürzung X n : =
( D n (t 1 ), . . . , D n (t d ) ) T
. Analog zum Beweis von
Satz 3.8 wird gezeigt, dass für alle α ɛ R d 1
gilt: √ αT rnn
X D
n −→ α T N ( )
0, σ0 2 I d =
N ( 0, σ0 2 ‖α‖ 2) . Die Behauptung folgt hieraus mit Theorem 7.7 in Billingsley [17].
Seien ohne Einschränkung α ≠ 0 und 0 = : t 0 ≤ t 1 < · · · < t d ≤ 1. Dann ist
m := min{t i − t i−1 |i ɛ {1, . . . , d}} > 0. Da r n −→ n→∞
0 ist r n + 1 < m für hinreichend
n
große n ɛ N, das heißt, die Intervalle (t i , t i + r n ] i ɛ {1,...,d} sind disjunkt. Teilt man
σn 2 := Var(αT X n ) wie in Gleichung (3.4.3) auf, und bezeichnet ε n u := ⌊(t u+r n )n⌋−
⌊t u n⌋ − r n n ɛ (−1, 1) den Rundungsfehler, so ergibt sich:
[
σn
2 d∑
r n n = αu
2 r n n + ε n u
Var ( I w (i) ) + 2
⌊(t u+r n)n⌋ ⌊(t
∑ u+r n)n⌋−i
]
∑
K w (j)
r
u=1
n n
r n n
i=⌊t un⌋+1 j=1
⌊(t d∑ d∑
u+r n)n⌋ ⌊(t
1 ∑ v+r
∑ n)n⌋
+ 2 α u α v Kov ( I w (i), I w (j) ) .
r
u=1 v=u+1 n n
i=⌊t un⌋+1 j=⌊t vn⌋+1
Wegen r n n −→ n→∞
∞ konvergieren die Summanden wie folgt:
1) rnn+εn u
r nn
Var ( I w (i) ) −→ n→∞
(
π w (1 − π w ) ) .
2) Nach Lemma 3.7 ergibt sich:
1
r n n
⌊(t u+r
∑ n)n⌋
i=⌊t un⌋+1
∑
⌊(t u+r n)n⌋−i
j=1
K w (j) = r nn + ε n u
r n n
−→ C 1 w,ϕ.
r nn+ε
∑
n u
j=1
K w (j) − 1
r nn+ε
∑
n u
jK w (j)
r n n
j=1
3) Für 1 ≤ u < v ≤ d gilt ∆ v u := ⌊t vn⌋ − ⌊t u n⌋ −→ n→∞
∞. Damit lässt sich der dritte
Summand analog Gleichung (3.4.4) abschätzen:
1
r n n
⌊(t u+r
∑ n)n⌋
⌊(t v+r
∑ n)n⌋
i=⌊t un⌋+1 j=⌊t vn⌋+1
≤ r nn + ε n u
r n n
+ r nn + ε n u
r n n
+ r nn + ε n u
r n n
∆ v u+r nn+ε n v −1
∑
(
∣ Kov Iw (i), I w (j) )∣ ∣
j=∆ v u −rnn−εn u +1 |K w (j)|
∆∑
v u−1
j=∆ v u−r nn−ε n u+1
∆ v u+r nn+ε n v −1
∑
j=∆ v u+ε n v −ε n u+1
|K w (j)|
|K w (j)|.
Alle 3 Terme konvergieren nach dem Cauchy-Kriterium für Reihen gegen 0,
da die Reihen nach Lemma 3.7 absolut konvergieren.