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38 Kapitel 3. Scan-Statistiken mit variabler Fenstergröße und k, l ∈ N gilt: P (|S k − S l | ≥ λ) ≤ U |k − l| α . Sei ohne Einschränkung im λ γ Folgenden 1 ≤ l < k < ∞. Da die Folgen (ξ 1,i ) i=0,...,m und (ξ 2,i ) i=0,...,m stationär sind, folgt mit der Markov-Ungleichung: (∣ ∣ ) ∣∣∣∣ k∑ k∑ ∣∣∣∣ P (|S k − S l | ≥ λ) = P ξ 1,i − ξ 2,i ≥ λ i=l+1 i=l+1 ( ) ( ) ∣∣∣ ∑k−l ∣ ∣∣ λ ∣∣∣ ∑k−l ∣ ∣∣ λ ≤ P ξ 1,i ≥ + P ξ 2,i ≥ 2 2 i=1 i=1 [ ] ≤ 24 ∑k−l ∣ ∣∣ 4 ∣ ∣∣ ∑k−l ∣ ∣∣ 4 E ∣ ξ λ 4 1,i + E ξ 2,i . i=1 Des Weiteren gilt |ξ u,i | ≤ 1 und E ξ u,i = 0 für alle i = 0, . . . , m, u = 1, 2. Da die Folgen (ξ u,i ) i=0,...,m für u = 1, 2 außerdem dieselbe Mischungseigenschaft wie (I w (i)) i∈N besitzen, lassen sich obige Momente mit Hilfe von Billingsley [17, Lemma 20.4] abschätzen durch: E ∣ ∑ k−l i=1 ξ ∣ 4 q,i ≤ K ϕ (k − l) 2 für q ɛ {1, 2}, wobei K ϕ > 0 nur von ϕ abhängt. Mit U := √ 32K ϕ erhält man: ( ) 2. P (|S k − S l | ≥ λ) ≤ 24 2K λ 4 ϕ (k − l) 2 = 1 λ U(k − l) 4 Nach Billingsley [17, Theorem 12.2] existiert somit K γ,α ′ ɛ R + , unabhängig von k, ε und n, so dass gilt: ( ∣ ∣∣∣ D n (s) P sup √ − D ∣ ) n(t j ) ∣∣∣ √ ≥ ε ( = P max |S k | ≥ ε ) √ n t j ≤s≤t j+1 n n 3 k∈{1,...,m} 3 ( ε √ ) −4 ≤ K γ,α ′ n (mU) 2 3 = 3 4 K γ,αU ′ 2 m2 ε 4 n . 2 Da für die Anzahl m der Sprungstellen m ≤ 2nδ gilt, erhält man: P ( ∣ ∣∣∣ D n (s) sup √ − D ∣ n(t j ) ∣∣∣ √ ≥ ε t j ≤s≤t j+1 n n 3 i=1 ) ≤ C δ2 ε 4 , wobei C := 162K γ,αU ′ 2 nur von ϕ abhängt. Summation über j liefert wegen δ = 1 n 0 und n 0 ≥ C ηε 4 ( P sup D n (s) ∣ √ − D ∣ ) ( √ n(t) ∣∣∣ n 0 −1 ∣ ∑ ∣∣∣ D n (s) ≥ ε ≤ P sup √ − D ∣ ) n(t j ) ∣∣∣ √ ≥ ε n n t j ≤s≤t j+1 n n 3 |s−t|≤δ Das ist die Behauptung. j=0 ≤ n 0 C δ2 ε 4 = C n 0 ε 4 ≤ η. ✷
3.4. Endlichdimensionale Randverteilungen 39 Korollar 3.4 Sind die Voraussetzungen aus Abschnitt 3.1 erfüllt und konvergiert r n von oben gegen einen echt positiven Grenzwert r > 0, so ist √ Dn n straff und falls D ɛ D[0, 1] Grenzwert einer Teilfolge ist, so ist D fast-sicher stetig. Beweis: Es wird Theorem 15.5 aus Billingsley [17] angewendet. Nach Satz 3.3 ist nur noch zu zeigen, dass ( n − 1 2 D n (0) ) n∈N straff ist: Es ist D n (0) = ∑ ⌊r nn⌋ ( i=1 Iw (i) − π w) . Wegen r n n −→ n→∞ ∞ konvergiert nach dem Zentralen Grenzwertsatz für mischende Folgen (siehe etwa Billingsley [17, Abschnitt 20], Doukhan [39, Abschnitt 1.5.1] oder Philipp [66]) n − 1 2 D n (0) gegen eine Normalverteilung. Insbesondere ist ( n − 1 2 D n (0) ) n∈N straff. Somit sind die Voraussetzungen von Theorem 15.5 aus Billingsley [17] erfüllt, es folgt die Behauptung. ✷ 3.4 Endlichdimensionale Randverteilungen In diesem Abschnitt werden die endlichdimensionalen Randverteilungen untersucht. Wie in Abschnitt 3.2 erläutert, müssen hierbei die Fälle r n ↘ r > 0 und r n ↘ 0 unterschieden werden. Die beiden Fälle werden in den Abschnitten 3.4.1 und 3.4.2 untersucht. Folgende technische Proposition wird später benötigt, um die Varianz mit Hilfe der Mischungseigenschaft abzuschätzen: Proposition 3.5 Seien ϕ i ɛ [0, 1] monoton fallend und ∑ ∞ √ i=1 ϕi konvergiere. Dann konvergiert auch die Summe ∑ ∞ i=1 iϕ i. Beweis: Zunächst wird indirekt gezeigt, dass j √ ϕ j , j ɛ N beschränkt ist: Angenommen für alle n ɛ N existiert j n ≥ n, so dass j n √ ϕjn > n. Sei ohne Einschränkung auch j n > j n−1 und zur Abkürzung j 0 := 1. Definiert man nun die Folge (b j ) j ɛN durch b j := ϕ jn ≤ ϕ j , für j n−1 < j ≤ j n , so folgt: ∞ > ∞∑ √ ϕj ≥ j=1 ∞∑ √ bj = j=1 ∞∑ n=1 j n ∑ j=j n−1 √ bj = ∞∑ (j n − j n−1 ) √ ϕ jn . n=1 Aus der Annahme ergibt sich ∑ ∞ n=1 (j n − j n−1 ) √ ϕ jn > ∑ ∞ konvergiert n(1 − j n−1 j n n=1 (j n − j n−1 ) n j n , somit ) = (j n − j n−1 ) n j n −→ n→∞ 0. Daher gilt für hinreichend große n ɛ N: 0 ≤ 1− j n−1 j n ≤ 1 n , woraus auch j n ≤ n n−1 j n−1 ≤ . . . ≤ C 1 ( n n−1 )n −→ n→∞ C 1 · e,
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Seite 3 und 4: i Einleitung Die Fortschritte der M
Seite 5 und 6: iii Mithilfe der Stein-Chen-Methode
Seite 7: v in ein neues allgemeineres Modell
Seite 10 und 11: viii Inhaltsverzeichnis 5 Das Hidde
Seite 12 und 13: 2 Kapitel 1. Bezeichnungen und Grun
Seite 20 und 21: 10 Kapitel 2. Vergleich zweier Zeic
Seite 44 und 45: 34 Kapitel 3. Scan-Statistiken mit
Seite 62 und 63: 52 Kapitel 4. Der empirische Muster
Seite 80 und 81: 70 Kapitel 5. Das ” Hidden ϕ-/ψ
Seite 96 und 97: 86 Literaturverzeichnis [10] Balakr
Seite 98 und 99:
88 Literaturverzeichnis [35] Dembo,
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90 Literaturverzeichnis [60] Maxwel
Seite 102:
92 Literaturverzeichnis [85] Siegmu
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