Muster und Alignments in zufälligen Zeichenketten - Abteilung für ...

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Mithilfe der Stein–Chen-Methode wird gezeigt, dass die d größten Scores im Limes
unabhängigen Gumbel-Verteilungen folgen. Des Weiteren wird eine Formel zur
effektiven Berechnung der approximativen Wahrscheinlichkeit, dass die d größten
Scores bestimmte Schwellenwerte überschreiten, angegeben. Dieses Ergebnis kann
als Grundlage für ein neues, selektiveres Verfahren zum Vergleichen zweier Zeichenketten
dienen.
log n
log log n
Im Weiteren wird das Auftreten von Mustern in einer Zeichenkette unter diversen
mathematischen Fragestellungen untersucht.
So steht im dritten Kapitel die Scan-Statistik im Mittelpunkt, bei der innerhalb
eines sogenannten Scan-Fensters nach auffällig häufigem Auftreten eines Musters
der Länge l in einer ϕ-mischenden Folge gesucht wird. In der Biologie wird mit
dieser Methode meist nach speziellen funktionellen Gruppen wie beispielsweise
einem Startpunkt der DNS-Replikation oder von Viren für die Infektion einer
Wirtszelle genutzten Angriffspunkten gesucht. So wird in Leung, Choi, Xia und
Chen [58] mittels der Scan-Statistik nach Regionen mit außergewöhnlich vielen
Palindromen gesucht, weil diese mit der Replikation von Herpesviren in Verbindung
gebracht werden.
Die Literatur zu diesem Thema, das eng mit der Wartezeit auf den ersten Erfolg
und dem Auftreten von Runs“ zusammenhängt, ist sehr umfangreich und
”
vielfältig, siehe etwa die Bücher von Glaz und Balakrishnan [47] und Balakrishnan
und Koutras [10]. Des Weiteren wird die Scan-Statistik beispielsweise in Dembo
und Karlin [32] untersucht, wo mittels der Stein–Chen-Methode eine Poisson-
Approximation für das Über- beziehungsweise Unterschreiten von Schwellenwerten
gezeigt und daraus eine asymptotische Extremwertverteilung der Scan-
Statistik abgleitet wird. Ebenfalls mit der Stein–Chen-Methode wird in Chen und
Karlin [25] das asymptotische Verhalten des bedingten Scan-Modells“, das die
”
parallele Suche nach mehreren Markern (vergleichbar mit den hier verwendeten
Mustern) in einer Zeichenkette beschreibt, untersucht. In der praxisorientierten
Veröffentlichung von Pozdnyakov, Glaz, Kulldorff und Steele [69] findet sich zum
einen eine Schätzung der Parameter der Extremwertverteilung mittels Erzeugenden
Funktionen sowie der Verwendung von Ergebnissen aus der Theorie der
Martingale und zum anderen eine ausführliche Übersicht über weitere Literatur.
In den genannten Artikeln ist die Anzahl der Zeichen im Scan-Fenster konstant,
beziehungsweise in Dembo und Karlin [32] konstant oder höchstens von der Ordnung
wachsend, wobei n die Länge der Zeichenkette bezeichnet. Es wird
eine asymptotische Extremwertverteilung des Supremums des Scan-Prozesses hergeleitet.
In dieser Arbeit wird demgegenüber der Scan-Prozess mit größerem Scan-Fenster
mit nr n Zeichen betrachtet. Falls r n monoton fallend und asymptotisch konstant
ist, r n ↘ r > 0, ergibt sich für den Scan-Prozess ein Limesresultat in D[0, 1]
mit Gaußschem Prozess als Grenzwert. Dieses erlaubt insbesondere auch, die