Muster und Alignments in zufälligen Zeichenketten - Abteilung für ...

66 Kapitel 4. Der empirische Musterprozess
Da die Folge (V i ) i ɛN (l-1)-abhängig und somit auch ϕ-mischend ist, erhält man
analog zum Beweis von Lemma 4.12 mit Lemma 22.1 aus Billingsley [17] und
Proposition 4.10:
E
( ∣∣∣ n∑
i=1
)
∣ ∣∣
4
V i ≤ 8 l 2 (l + 1) 2 (2l + 1) [ 2 n 2( E(V1 2 ) ) 2
+ n E(V
2
1 ) ]
≤ C(l) [ n 2 (2 l − 1) 2 b 2 + n(2 l − 1) b ]
≤ C(l) n 2 2 l (2 l − 1) b 2 ,
wobei die letzte
√
Ungleichung aus der Voraussetzung 1 ≤ b folgt. Mit der Voraussetzung
C 1 n b <
n
γ
ergibt sich:
2
(
P sup ∣ Zn (p) − Z n (q) ∣ )
≥ γ
p ɛ B
( ( ) )
1 ∑ ∣∣∣ n∑ ∣ ∣∣
≤ P √ V i ≥ γ n 2
D ɛ P i=1
( )
≤ 24 |P| 4 ∣∣∣ n∑ ∣ ∣∣
γ 4 n E 4
V 2
i
i=1
≤ 16 · 24 P ξ
k=2 |L k| C(l) 2 l (2 l − 1)
γ 4 b 2 .
(
+ P
C 1
√ n b ≥
γ
2
)
Nach Definition von C 2 ist das die Behauptung.
✷
Damit lässt sich die Variation von Z n auf einem beliebigen Würfel durch die
Kantenlänge des Würfels abschätzen.
Satz 4.14
Seien q ɛ ∆ und ε, c > 0 so, dass [q, q + c] ⊂ [0, 1] ξ−1 . Ferner sei n ɛ N hinreichend
groß, so dass der Schnitt ( 4c
C 1 ε√ n, cn
)
∩ N nicht leer ist. Dann gilt:
P
(
sup
p ɛ [q,q+c]
mit C 3 := 16 ( C 2 + C(l)(C 1 + 1)C 1
)
.
∣ Zn (p) − Z n (q) ∣ ∣ ≥ ε
)
≤ C 3
ε 4 ⌈
4 √ ⌉ ξ−1
nc
c 2
C 1 ε
Diese obere Schranke ist zwar für Konvergenzaussagen unbrauchbar, da sie
bezüglich n von der Größenordnung n ξ−1
2 ist, sie ist jedoch für Fehlerabschätzungen
von Vorteil, da sie bezüglich der Kantenlänge von der Ordnung c ξ+1 ist.