Muster und Alignments in zufälligen Zeichenketten - Abteilung für ...

72 Kapitel 5. Das ”
Hidden ϕ-/ψ-Mixing“ Modell
für alle E I ɛ A |I| , E J ɛ A |J| und somit
∣
∣P (Y I ɛ E 1 , Y J ɛ E 2 ) − P (Y I ɛ E 1 )P (Y J ɛ E 2 ) ∣ ∫
=
P (Y I ɛ E 1 , Y J ɛ E 2 |X M =x M ) dP (X I,X J ) (x I , x J )
∣
X |M| ∫
∫
− P (Y I ɛ E 1 |X I =x I ) dP X I
(x I ) P (Y J ɛ E 2 |X J =x J ) dP X J (x J )
∣
X |I| X |J| ∫
=
P (Y
∣
I ɛ E 1 |X I =x I )P (Y J ɛ E 2 |X J =x J ) d ( ) P (X I,X J ) − P X I
⊗ P X J
(xI , x J )
∣
X |M|
∫
≤ 2ϕ(s) P (Y I ɛ E 1 |X I =x I ) dP X I
(x I )
X |I|
= 2ϕ(s)P (Y I ɛ E 1 ).
Ist X ψ-mischend, so folgt ) analog zu ( Gleichung ) (5.1.1) mit Lemma 3 aus Philipp
[66] für alle f ɛ L+( 2 P
X I , g ɛ L
2
+ P
X J :
∫
∣ fg d ( )∣ ∣ ∫ ∫
P X M
− P X I
⊗ P X J ∣∣ ∣∣ ≤ 2ψ(s) f dP X I
g dP X J
∣
und damit:
∣ P (YI ɛ E 1 , Y J ɛ E 2 ) − P (Y I ɛ E 1 )P (Y J ɛ E 2 ) ∣ ∫
∫
≤ 2ψ(s) P (Y I ɛ E 1 |X I =x I ) dP X I
(x I )
X |I|
= 2ψ(s)P (Y I ɛ E 1 )P (Y J ɛ E 2 ).
X |J| P (Y J ɛ E 2 |X J =x J ) dP X J
(x J )
Das ergibt die Behauptung.
✷
Bemerkung:
Mit dem soeben gezeigten spielt es keine Rolle, ob die Mischungsgeschwindigkeit
der verborgenen oder die der emittierten Folge untersucht wird. Im Allgemeinen
besteht jedoch ein erheblicher Unterschied ob die Verteilung von X oder die
Verteilung von Y betrachtet wird.
Der Versuch, die Verteilung der Beobachtungen oder eine davon abhängige Größe
zu schätzen, kann zu einer unzureichenden Schätzung führen, wenn eine verborgene
Information die Verteilung der Emissionen bestimmt, da eine nicht beobachtete
Veränderung in der Folge X zu einer deutlich anderen Verteilung von Y führen
kann. Würde nun lediglich die Verteilung der Beobachtungen P Y betrachtet, so