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5.2. Der allgemeine Fall 75
Satz 5.4
Die verborgene Folge erfülle eine der beiden Voraussetzungen:
a) X ist ψ-mischend mit ∑ i ɛN ψ(i) 1 3 < ∞ oder
b) X ist ϕ-mischend mit ∑ i ɛN ϕ(i) 1 5 < ∞.
Seien weiterhin die Wörter w 1 , . . . , w m ɛ A ∗ , m ɛ N so, dass die Matrix Σ : =
(σ wp,wq ) p,q=1,...,m mit σ v,w wie in Lemma 5.3 positiv definit ist, und
⎛
⎞
Z n (t) := √ 1
⌊nt⌋ I
∑ w1 (i) − π w 1
⎜
⎟
⎝ n
. ⎠ für t ɛ [0, 1] und n ɛ N.
i=1 I wm (i) − π wm
Dann konvergiert Z n in Verteilung gegen eine m-dimensionale Brownsche Bewegung
mit Kovarianzmatrix Σ.
Beweis:
Da nach Voraussetzung insbesondere ∑ ∞
i=1 ψ(i) beziehungsweise ∑ ∞
i=1
ϕ(i) konvergieren,
sind die Voraussetzungen von Proposition 5.2 und Lemma 5.3 erfüllt.
Somit lässt sich der Beweis in drei Schritte gliedern:
1) Zunächst wird die Konvergenz eines geeignet konstruierten eindimensionalen
Prozesses gezeigt:
Sei α ɛ R m , mit ‖α‖ = √ 1
m
, wobei ‖·‖ hier die Euklidische Norm bezeichnet. Zuerst
wird gezeigt, dass die Voraussetzungen von Philipp und Webb [67, Satz 2]
im ψ-mischenden Fall beziehungsweise von [67, Satz 3] im ϕ-mischenden Fall
für ξ i := α T( I w1 (i) − E I w1 (i), . . . , I wm (i) − E I wm (i) ) T
erfüllt sind:
(i) Für s 2 n := E( ∑ n
i=1 ξ 2
i)
gilt nach Lemma 5.3:
m∑
(
s 2 n = α p α q E Iwp (i) − E I wp (i) ))( n∑ (
Iwq (j) − E I wq (j) ))
= n
p,q=1
m∑
p,q=1
−→ n→∞
∞,
( n∑
i=1
1
α p α q
n Kov( )
Nn, p Nn
q
(
da Σ = lim 1
n→∞ Kov(N p n n, Nn) ) q positiv definit ist.
p,q=1,...,m
(ii) Wegen |I wk (i) − E I wk (i)| ≤ 1 für alle k ɛ {1, . . . , m}, i ɛ N folgt mit der
Hölderschen Ungleichung:
E ( [ (
) m
) 2 (
∑ ∑ m
(
ξi
4 ≤ E αk
2 Iwk (i) − E I wk (i) ) ) 2
2
≤ 1.
k=1
} {{ }
=‖α‖ 4
k=1
j=1
} {{ }
≤m 2 ]