Prozessrechentechnik - Fachhochschule Oldenburg/Ostfriesland ...

2.1.6. Dämpfungssatz
2.1. Formeln zur Laplace-Transformation 5
gegeben: y(t) Y(p)
gesucht:
-at
£{y(t)*e }
Lösung:
-at
£{y(t)*e } = Y(p+a)
-at
y(t)*e F---M Y(p+a) (22)
2.1.7. Faltungsintegral
Das Faltungsintegrals verknüpft zwei gegebene Funktionen y 1(t) und y 2(t)
mit Hilfe der Definition
zu einer dritten Funktion. Die Aussage des Faltungsintegrals soll nun anschaulich verdeutlicht werden, siehe Bild
6. Die von der Variablen t abhängigen Funktionen y 1(t) und y 2(t)
werden überführt in von der Variablen � abhängigen
Funktionen. Bei der Funktion y (t) wird “t” nur durch “�” ersetzt:
y 1(t) y 1(�)
In der Funktion y 2(t)
wird “t” ersetzt durch “t-�”:
y 2(t) y 2(t-�)
1
Die Funktion y 2wird somit verschoben und gespiegelt. Die Funktion y 2ist somit im Vergleich zur Funktion y 1um
den Parameter “t” gefaltet. Sowohl y 1(�) als auch y 2(t-�)
sind Funktionen, die von der Variablen � abhängig sind.
Die Zeit t ist in der Funktion y nur noch als konstanter Parameter anzusehen, siehe Bild 6, Teilbild b.
Bild 6: Anschauliche Bedeutung des Faltungsintegrals
2
Das Integral (23) kann für einen bestimmten (im Moment konstanten) Zeitpunkt t gedeutet werden. Die Integration
erfolgt über �, t ist nur konstanter Parameter für das Integral. Um das Faltungsintegral (23) für einen t-Wert zu
bestimmen, müssen die zwei in Bild 6b darstellten Funktionen multipliziert und integriert werden. Die Integration
erfolgt von � = 0 bis � = t. Das Ergebnis wird durch die obere Integrationsgrenze wieder eine Funktion von t. Ohne
Beweis: Die Funktionen y und y dürfen auch getauscht werden, ohne dass sich das Ergebnis ändert.
2.1.8. Faltungssatz
y 1(t) F---M Y 1(p)
y (t) F---M Y (p)
2 2
1 2
Version 1.3 25.02.2005, 8.47 Uhr D:\Vorl\PRT\PRT_Skript_WS_04_05.wpd
(23)
Y(p) = Y 1(p)*Y 2(p)
(24)
Fazit: Die Transformation des Faltungsintegrals zweier Funktionen ergibt die Multiplikation der
Laplace-Transformierten der Einzelfunktionen.