Prozessrechentechnik - Fachhochschule Oldenburg/Ostfriesland ...

4.1. Regelung einer PT1-Strecke mit digitalem I-Regler 59
4.1.4. Bestimmung der Parameter für einen digitalen Regler
Nach Tabelle 13 (Abschnitt 3.7.2.4) ergeben sich die digitalen Reglerkoeffizienten mit der bilinearen Tranformation
zu:
a 1 = -1 (258)
Die Differenzengleichung lautet:
v(k) = - a 1*v(k-1) + b 0*u(k) + b 1*u(k-1)
(Kopie, 204)
Die Integrierzeiten (256/257) sind schon aus dem letzten Abschnitt 4.1.3 bekannt. Für die Ermittlung der
Parameterwerte des digitalen Reglers muss noch die Abtastzeit T festgelegt werden.
Die analoge Reglerstruktur nach Bild 64 wird umgesetzt in eine digitale Struktur für den Regler nach (258), (204)
bzw. Bild 60. Weil dieses Beispiel als Einführung lediglich das Prinzip der Vorgehensweise beim Entwurf
quasikontinuierlicher Regelungen zeigt, wurde auf ein Anti-Aliasing-Filter verzichtet. Dieses ist in diesem Beispiel
möglich, weil die Regelgröße x hier eine Zustandsgröße darstellt und bei der Simulation keine höherfrequenten
Störgrößen vorhanden sind.
Die Abtastzeit wird in diesem Beispiel zehnmal kleiner als die dominierde Zeitkonstante des geschlossenen
Regelkreises gewählt. Im Folgenden wird erläutert, wie diese dominierende Verzögerungszeit des geschlossen
Regelkreises ermittelt werden kann: Bekanntlich ist die Kennkreisfrequenz � 0 bei einem System zweiter Ordnung
ein Maß für die Schnelligkeit des Systems, s. Abschnitt 2.5.2, [2]. Im aperiodischen Grenzfall (� = 1) entspricht �0
der inversen Zeitkonstanten; bei nicht zu kleinen Dämpfungsgraden kann dies als Näherung für die dominierende
Verzögerungszeit gelten:
- Dominierende Zeitkonstante (259)
Mit dem Entwurf der kontinuierliche Regelung in Abschnitt 2.5.3 erhält man � 0 aus (121) und (122):
Aus (260) und (259) ergibt sich die dominierde Zeitkonstante des geschlossenen Regelkreises zu:
T Dz = 2*�*(T e + T/2) (261)
Die Abtastzeit wird 1/10 der dominierden Zeitkonstante (261) gewählt:
Für die gewählten Dämpfungen ergeben daraus folgende Abtastzeiten:
� 1 = 0.7071 T = 0.2*0.7071*0.5 s = 0.0707 s (263)
� = 1.0 T = 0.2*1*0.5 s = 0.1 s (264)
2
Mit (258), (263), (264) und (256/257) werden die Parameterwerte des digitalen Reglers berechnet:
� 1 = 0.707 a 1 = -1 (265)
� 2 = 1.0 a 1 = -1 (266)
4.1.5. Simulationsergebnisse
Die Ergebnisse der Simulation der quasikontinuierlichen Regelung mit den gefundenen Parameterwerten für das
Verhalten des geschlossenen Kreises mit den zwei gewählten Dämpfungsgraden und der Wahl verschiedener
Abtastzeiten werden im Bild 65 gezeigt. Bilder 65 a, c, e, g zeigen die Ergebnisse für Dämpfungsgrad � 2 = 1.0,
Bilder 65 b, d, f, h bei � 2 = 0.707. Die Abtastzeiten wurden dabei von T=T Dz/10 bis T=T Dz vergrößert. Bis zur
Abtastzeit T Dz/4 erhält man in diesem Beispiel noch relativ gute Ergebnisse. T=T Dz verletzt das Shannon-Theorem,
dies wird durch die Ergebnisse in den Bildern 65g und 65h bestätigt.
Version 1.3 25.02.2005, 8.47 Uhr D:\Vorl\PRT\PRT_Skript_WS_04_05.wpd
(260)
(262)