Prozessrechentechnik - Fachhochschule Oldenburg/Ostfriesland ...

3.5. Differenzengleichungen 41
chungen zur exakten Lösung ergeben. In der allgemeinen Praxis werden diese Anfangswerte jedoch mit Nullen
vorbelegt. Zur Programmierung von (191) nach Bild 49 ist folgende Reihenfolge pro Abtastschritt unbedingt
einzuhalten:
Schritt 1: Schieben der Werte u k und v k rechts. Mit 1/z wird dieses durch die Laufzeit eines Abtastschrittes angedeutet.
Schritt 2: Eintragen der aktuellen Eingangsgröße u(k).
Schritt 3: Berechnen und Eintragen des aktuellen v(k) nach Bild 49 oder nach (194).
Die Bestimmung der Filterparameter a i und b i soll in den nächsten zwei Abschnitten 3.6 und 3.7 beschrieben
werden; in Abschnitt 3.6 mit Hilfe einer Transformation der Übertragungsfunktion G(p) und in Abschnitt 3.7
anhand mathematischer und physikalischer Gleichungen.
3.5.4. Stabilität von Differenzengleichungen für rationale Übertragungsglieder
Über Stabilität von linearen DGLn mit konstanten Koeffizienten (LZI-linear-zeitinvariante Systeme) wurde in
Abschnitt 2.5.2 berichtet. Danach lautete die Stabilitätsbedingung:
alle k = 1 ... n Re(p oK ) < 0 => Stabilität (Kopie 110)
Alle Nullstellen des Nennerpolynoms p ok der Übertragungsfunktion in p (gleich der Eigenwerte � k der Lösung der
zugehörigen homogenen DGL) müssen in der linken Halbebene der komplexen Polebene liegen.
Auch Differenzengleichungen können stabil oder instabil sein. DGLn können in Differenzengleichungen gewandelt
werden und umgekehrt. Der Übergang von DGLn auf Differenzengleichen kann auch mit Hilfe der Übertragungsfunktion
erfolgen. Dabei wurde die Laplace Variable p durch z ersetzt:
T*p
z = e (Kopie 150)
Betrachtet man die komplexe Polebene in p, kann die gesamte Ebene in eine z-Ebene abgebildet werden, siehe Bild
50. Dieses ist eine Abbildung einer komplexen Ebene auf eine andere komplexe Ebene. Die Abbildung (150) ist
auch noch ein Sonderfall: Rechte Winkel bleiben erhalten. Der Mathematiker nennt diese Abbildungsart “konforme
Abbildungen”. Der Stabilitätsrand in p, die imaginäre Achse, wird bei einem Realteil von Null mit (150) auf
den Einheitskreis abgebildet. Nach (150) ergeben negative Realteile Beträge kleiner eines. Damit wird die linke
Halbebene der p-Ebene auf das Innere des Einheitskreises abgebildet. Die Nullstellen des Nennerpolynoms von
(193) sind entscheidend für die Stabilität. Liegen alle Nullstellen der Übertragungsfunktion in z im Einheitskreis,
ist die Differenzengleichung stabil.
i = 1 ... n => Stabilität (195)
Bild 50: Konforme Abbildung der p- auf die z-Ebene,
Stabilität in der linken p-Ebene bzw. innerhalb des z-Einheitskreises,
Stabilität: p 3, p 4, p7 bzw. z 3, z 4, z7
Stabilitätsgrenze: p 1, p2 bzw. z 1, z2
Instabilität: p , p , p bzw. z , z , z
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Version 1.3 25.02.2005, 8.47 Uhr D:\Vorl\PRT\PRT_Skript_WS_04_05.wpd