GEORG-AUGUST-UNIVERSIT AT G OTTINGEN II. Physikalisches ...

A Statistik
A.1 Die Poisson-Verteilung
Die Poisson-Verteilung wird zur Beschreibung von Zählexperimenten mit einer geringen
Ausgangswahrscheinlichkeit verwendet. Bei Poisson-Prozessen ist nur eine durchschnittliche
Rate, λ, für das Eintreten von Ereignissen bekannt (zum Beispiel für einen Blitz
während eines Gewitters). Die Wahrscheinlichkeit, k solcher Ereignisse zu beobachten, ist:
P (k) = λk
k! e−λ
. (18)
Der Erwartungswert, E, der Poissonverteilung lautet: E = λ. Die Varianz der Poisson-
Verteilung ist über σ 2 = λ gegeben. Der radioaktive Zerfall ist ein typisches Beispiel für
einen Poisson-Prozess.
Literatur: Statistische und numerische Methoden der Datenanalyse von Blobel
u. Lohrmann, S. 107f. und S. 191.
A.2 Der χ 2 -Test
Der χ 2 -Test wird zur Überprüfung der Vereinbarkeit von Messdaten und einer Hypothese
verwendet. Die Daten seien in ein Histogramm mit n Bins eingetragen. Die Fehler (statistische
Schwankungen) in einem einzelnen Bin seien Poisson-Fehler, d.h. ∆ni = √ ni. Ebenso
seien die aus einer Hypothese erwarteten Werte für jedes Bin bekannt. Das χ 2 definiert ein
Maß für die durchschnittliche quadratische Abweichung zwischen den gemessenen Daten
und den erwarteten Werten. Das χ 2 wird folgendermaßen berechnet:
χ 2 n� (ni − ni,theo)
=
i=1
2
(∆ni,theo) 2 , (19)
wobei ni die Anzahl der gemessenen Ereignisse und ni,theo die Anzahl der erwarteten Ereig-
nisse im i-ten Bin ist. Für k Freiheitsgrade sollte χ2
≈ 1 gelten. Die Anzahl der Freiheits-
k
grade ist die Anzahl der Bins, n, minus die Anzahl der geschätzten Parameter (in unserem
Fall 1, da wir den Mittelwert abschätzen). Die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten für
das Erreichen oder Überschreiten eines gewissen χ2 sind in Tabelle 2 dargestellt.
Literatur: Statistische und numerische Methoden der Datenanalyse von Blobel
u. Lohrmann, S. 286ff.
20