Phát triển năng lực tư duy cho học sinh THPT qua dạy học phương trình lượng giác (2019)

Nhận xét:
- Từ phương trình thuần nhất bậc hai đối với sin x và cosx học sinh có
thể rút ra cách giải cho phương trình bậc ba, bậc bốn,…tương tự như phương
trình bậc hai.
2 2
- Phương trình asin x bsin xcos x ccos x 0 khi a 0 hoặc c 0
có thể được giải gọn hơn bằng cách đưa về phương trình tích.
- Đối với phương trình:
a x b x x c x d a b c d a b c
2 2 2 2 2
sin sin cos cos , , , ; 0
ta có thể quy về phương trình thuần nhất bậc hai đối với sin x và cosx bằng
cách viết d dưới dạng d d sin
2 x cos
2 x
Ví dụ 8: Giải các phương trình sau:
1)
2)
3)
2 2
4sin x 5sin xcos x 6cos x 0
2 2
cos x 2sin xcos x 5sin x 2
2 2
4cos x 3sin xcos x 3sin x 1
Phân tích: Phương trình (1) và (2) đều là phương trình thuần nhất bậc
hai. Để giải phương trình này ta chia hai vế của phương trình cho
2
sin x hoặc
2
cos x
Giải
1)
2 2
4sin x 5sin xcos x 6cos x 0
Với cos x 0 sinx 1 VT 4
VP . Vậy cos x 0 không thỏa
mãn phương trình.
Với cos x 0 chia 2 vế cho
2
cos x ta được
2
4tan x 5tan x 6 0
tan x 2 xarctan 2 k
3
3 ; k .
tan x x arctan
k
4
4
Vậy nghiệm của phương trình là:
53