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Números índice y teoría económica 121Anexo 3. Minimización de costos a partir de una función de utilidadcuadráticaEtapa I: minimización del costo a precios inicialesUn consumidor representativo posee unas preferencias explicitadas en lasiguiente función de utilidad:2 2x y( t ) ( t )U = 4 Q QxyEl consumidor -conocedor del precios de los bienes- ( P0= 10 y P0= 5),desea minimizar el costo necesario para alcanzar un nivel de utilidad de 100.Se pide establecer la canasta de consumo y el monto de ingreso necesarioque posibilitan alcanzar el nivel de consumo buscado al menor costo posible.ResoluciónEl primer paso consiste en explicitar las funciones relevantes para laoptimización, que consisten en dos ecuaciones: la ecuación presupuestaria yla función lagrangiana.La recta presupuestaria está dada por:I = P ⋅ Q + P ⋅Qx x y yt t t txreemplazando los precios se tiene: I = 10⋅ Q + 5⋅QA partir de aquí se trabaja con el lagrangiano:x x y y 0x yL = P ⋅ Q + P ⋅ Q + l ⋅ ⎡U u( Q ; Q ) ⎤0 0 0 0 ⎣-0 0 ⎦tyt2 2( ) ( )x y x yL = 10⋅ Q + 5⋅ Q + l ⋅ ⎡100 4 Q Q ⎤0 0⎢-0 0⎣⎥⎦