résumés des cours et travaux - Collège de France

90 JEAN-CHRISTOPHE YOCCOZ
Théorème – On a ∂ E =∂ H= ( H∪E) c .
Indiquons quel est le lemme principal dans la démonstration des théorèmes
précédents. On dit qu’une paire (A, B) est tordue si A et B ne sont pas elliptiques
et (A, B) n’appartient pas à H 0.
Lemme – Si (A, B) est tordue, alors une et une seule des quatre propriétés suivantes
est satisfaite :
i) AB est elliptique ;
ii) ( AB , ) ∈ Hid ;
iii) (A, AB) est tordue ;
iv) (BA, B) est tordue.
Ceci étant, on veut montrer que (SL(2, R)) 2 est l’union disjointe de H0, E et
des HF , F ∈M. On prend donc une paire (A, B) qui n’appartient pas à H0 ∪ E
et on applique le lemme. Le cas i) est impossible par hypothèse. Si on se trouve
dans les cas iii) ou iv) on applique à nouveau le lemme à la paire obtenue. Il s’agit
de voir qu’on ne peut indéfiniment éviter le cas ii), ce qui résulte de l’étude de la
dynamique sur les triplets (tr A, tr B, tr AB) au cours de ce processus.
5. On dispose d’une description explicite des multicônes correspondant aux
composantes non principales de H pour le décalage complet sur 2 symboles.
Notons M* le monoïde opposé de M ; pour F ∈M*, posons jF ( )= pq,
où
q désigne la longueur du mot F(AB) et p le nombre d’occurences de B dans ce
mot. L’application j est une bijection de M* sur Q ∩( 01. ,)
Fixons pq∈Q ∩(,)
01. Posons IA = [0, 1 − p/q), IB = [1 − pq, 1), et notons
θ : [ 01 , ] → { A,B } l’application qui vaut A sur IA et B sur IB. Notons Rp/q l’application x � x+ p q mod 1. Pour x ∈[01 ,), posons
Θ( x) = ( θ( Ri pqx))
0 ≤< i q.
L’image Θ( [01 , )) = : O( pq ) est un ensemble de q mots de
longueur q qui se déduisent les uns des autres par permutation cyclique.
Soit [ p0 q0, p1 q1]
l’intervalle de Farey dont pq est le centre. On munit
l’union disjointe O: = O(
pq ) ⊔ O( p0 q0
) ⊔ O( p1 q1
) de l’ordre cyclique
suivant (où Θ0, Θ1 sont définis à partir de p0 q0,
p1 q1
comme l’a été Θ à partir
de pq) : on commence par Θ0(0), Θ(0), Θ1(0) puis on rencontre alternativement,
par ordre lexicographique croissant, les mots Θ( i ( 0 )) et Θ1 1 1 0 ( i ( )) ,
q 1 0 1
R pq
R p q
1
0 < i < q 1,
puis le mot Θ( R pq(
)) = Θ(
− ) , et enfin alternativement, par ordre
q
lexicographique décroissant, les mots Θ0 0 0 0 ( ( )) R − j
− j
p q et Θ( R pq(
0 )) , 0 < j < q 0.
Si (A, B) appartient à une composante connexe de H associée à p q , les cônes
stable et instable ont chacun q composantes connexes, et les 2q composantes
connexes du complémentaire de S ⊔ U sont naturellement paramétrées par O :
pour C ∈O, il existe une composante de (S ⊔ U ) c dont les extrémités sont sC et uC.