interactions des fondations et des sols gonflants : pathologie ... - Pastel

En cas de chargement symétrique de la poutre, l’effort tranchant est toujours nul au milieu
de la poutre.
Le moment fléchissant dans une section quelconque de la poutre est déterminé à partir de
l’équation d’équilibre des moments :
n
2
( ) ( )
( q − ) x
a qr
x
M x = ∑Ni
x − xi
+
− ∫ ( x − t)
qg
( t)
dt
(3.64)
0
i=
1
2
dans laquelle l’intégration sur les forces Ni est limitée à l’intervalle [0,x].
La fonction qg(x) peut être écrite selon la forme de l’équation (3.57), et l’équation (3.64)
devient, pour x compris dans l’intervalle de 0 à L1 :
n
2
( ) ( )
( q − )
x
a qr
x k b sd
m
M x = ∑Ni
x − xi
+
− ∫ ( x − t)(
L1
− t)
dt
(3.65)
m 0
i=
1
2 L1
puis
2
m+
1
m+
2
( qa
− qr
) x k b s ⎡ d ( L1
− t)
( x − t)
( L1
− t)
+ m ⎢
−
2 L m + 1 ( m + 1)(
m + 2)
x
n
⎤
M( x)
= ∑ Ni
( x − xi
) +
⎥
i=
1
1 ⎣
⎦ 0
On obtient finalement l’expression suivante pour M(x) :
n
2
m+
1
m+
2 m+
2
( ) ( )
( q − ) ⎡ ( − ) − ⎤
a qr
x k b sd
L1
x L1
x L1
M x = ∑Ni x − xi
+
+ ⎢ +
⎥ , (3.66a)
m
i=
1
2 L1
⎣ m + 1 ( m + 1)(
m + 2)
⎦
où x est compris entre 0 et L1 et
Quand x est compris entre L1 et L, la formule donnant M(x) devient :
n
2
( ) ( )
( qa
− qr
) x k b sdL1
⎡ L1
⎤
M x = ∑ Ni
x − xi
+
+ ⎢x
−
+
⎥ . (3.66b)
i=
1
2 m 1 ⎣ m + 2⎦
Le moment fléchissant M(x) est maximal au centre de la poutre. À partir du début de
l’humidification et jusqu’au moment où L1 = L, il est égal à (équation 3.67a) :
n
2
( ) ( )
( qa
− qr
) L k b sd
L1
⎡ L1
⎤
M L > L1
= ∑ Ni
L − xi
+
+ ⎢L1
−
+
⎥ . (3.67a)
i=
1
2 m 1 ⎣ m + 2⎦
Lorsque les deux fronts de gonflement se sont rejoints, c’est à dire pour L