interactions des fondations et des sols gonflants : pathologie ... - Pastel

- au bord de la zone de diffusion de la charge, pour ρ = ro+r, ∆σzρ = 0, ce qui,
compte tenu de la condition précédente donne a3 = 2σzο. et a2 = -3 ∆σzο.
L’équation (4.6) s’écrit donc sous la forme :
2
3
⎡ ⎛ ρ ⎞ ⎛ ρ ⎞ ⎤
∆σ ⎢
⎜
⎟ + ⎜
⎟
zρ
= ∆σzo
1 − 3 2 ⎥ . (4.7)
⎢⎣
⎝ ro
+ r ⎠ ⎝ ro
+ r ⎠ ⎥⎦
∆σzο
Figure 91. Schéma de calcul des contraintes sous une plaque circulaire
On obtient la valeur inconnue de la contrainte verticale maximale appliquée au sol
∆σzρ en écrivant que l’intégrale de ∆σzρ est égale à la charge appliquée sur la plaque
Q = ∆σo π ro 2 . Cette condition s’écrit :
2
3
2π
r + r ⎡
⎤
2
o ⎛ ρ ⎞ ⎛ ρ ⎞
∆σ ⎢
⎜
⎟ + ⎜
⎟
oπro
= ∆σrρ∫
∫ 1−
3 2 ⎥ ρ dρ
dϕ
.
0 0 ⎢⎣
⎝ ro
+ r ⎠ ⎝ ro
+ r ⎠ ⎥⎦
Après intégration, prise en compte des conditions aux limites et quelques
transformations, on obtient :
2
∆σoro
∆σzo
=
.
0,
3 r + r
( ) 2
o
En tenant compte de la relation r = z tan β et introduisant le paramètre
λ = 1/0,3 = 0,33, on obtient l’expression suivante de ∆σrρ :
( ) ⎥ ⎥
2
2
3
λ∆σ
⎡ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎤
oro
ρ
ρ
∆σ ⎢ − ⎜
⎟ + ⎜
⎟
zρ
=
1 3
2
. (4.8)
2
r β ⎢⎣
⎝ ro
+ z β ⎠ ⎝ ro
+ z β
oz
tan
tan
tan ⎠ ⎦
À titre d’exemple, nous avons calculé les contraintes créées par une plaque rigide de
rayon ro = 1m, pour une charge répartie sur la plaque ∆σa = 300 kPa et pour deux
valeurs de β : β = ϕ = 20 degrés et β = ϕ = 40 degrés. Les résultats sont représentés
sur la figure 92.
∆σο
∆σzρ
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