interactions des fondations et des sols gonflants : pathologie ... - Pastel

w Ni
( x x )
( L − x )
2
Ni
i
< i =
( 2L
− 3x
+ xi
) , (3.68b)
6EI
et il reste à faire la somme de ces flèches pour obtenir l’effet des forces concentrées.
Lorsqu’il y a une seule force N1 appliquée à l’extrémité de la poutre (x1=0), on retrouve
l’expression connue de la flèche maximale d’une poutre en console chargée à son
extrémité :
3
N1L
w N ( x = 0)
= . (3.69)
3EI
Pour la charge uniformément répartie (qa-qr), on obtient :
4
2
2
( )
( q ) ⎡
⎤
a − qr
L ⎛ L − x ⎞ L − x ⎛ L − x ⎞
w q x =
⎜ ⎟ ⎢6
− 4 + ⎜ ⎟ ⎥ . (3.70)
24EI
⎝ L ⎠ ⎢⎣
L ⎝ L ⎠ ⎥⎦
Pour x=0 et q=qa-qr, on obtient la formule connue de la flèche à l’extrémité d’une poutre en
console soumise à une charge uniformément répartie :
4
qL
w q ( x = 0)
= . (3.71)
8EI
Pour obtenir la valeur de la flèche dans toute section de la poutre de fondation, sous l’effet
de la réaction de gonflement du sol, on utilise l’équation différentielle du second ordre :
2
d w
EI = M(
x)
, (3.72)
2
dx
dans laquelle M(x) a pour l’expression (dernier terme de l’équation 3.66) :
( )
( )
( )( ) ⎥ m+
1
m+
2 m+
2
k b s ⎡
− − ⎤
d L1
x L1
x L1
M x < L1
= ⎢ +
(3.73a)
m
L1
⎣ m + 1 m + 1 m + 2 ⎦
k b sdL1
⎡ L1
⎤
M(
x ≥ L1
) = ⎢x
−
m + 1
⎥ . (3.73b)
⎣ m + 2⎦
d’où
( )
( )( ) ⎥ 2
m+
1
m+
2 m+
2
d w k b s ⎡ L − x − L ⎤
d L1
x 1
1
= ⎢ +
(x