interactions des fondations et des sols gonflants : pathologie ... - Pastel

Si le sol gonfle sous la fondation entre x = L1 et x = L1+a, l’équilibre s’écrit désormais :
n
∑
i=
1
∫
L + a
( x)
1
N + q L = q L + q dx , (3.61)
i
a
r
L
1
g
où qg(x) est la pression de gonflement exercée par le sol sous la partie centrale de la
fondation.
Nous admettons que la fonction qg(x) a la forme suivante (équation 3.58) :
m
x L1
q( x)
k b sd
L L ⎟
1
⎟
⎛ − ⎞
⎜
−
= .
⎝ ⎠
L’équation (3.61) s’écrit alors :
n
kbs L + a
d 1
m
∑N
i + ( qa
− qr
) L = ∫ ( x − L1)
dx , (3.62)
m L1
i=
1
a
et devient, après intégration :
n
kbsda
∑ Ni
+ ( qa
− qr
) L = , (3.63)
i=
1
m + 1
d’où
n 1 ⎛ kbsda
⎞
q r = qa
+ ⎜∑
Ni
− ⎟ . (3.64)
L ⎝ i=
1 m + 1 ⎠
L’équation de l’effort tranchant Q(x) dans toute section de la demi-poutre s’écrit sous la
forme :
ou
n
Q = ∑ i a r
i=
1
Q
( x)
N + ( q − q )x
n
( x)
N + ( q − q )
= ∑
i=
1
i
a
r
kbsdx
x −
m + 1
pour x < L1 (3.65a)
pour L1 < x < L . (3.65b)
L’équation du moment fléchissant M(x) dans toute section de la demi-poutre s’écrit sous la
forme :
n
2
( ) ( )
( qa
− qr
) x
M x = ∑ Ni
x − Li
+
i=
1
2
pour x < L1 (3.66a)
ou
M ( x)
n
2 ( q − ) x
a qr
x
∑Ni
( x − Li
) +
− ∫ qg
( x − t)
dt pour L1 < x < L .
2
L1
(3.66b)
=
i=
1
Si l’on remplace qg(x) par son expression (3.58), l’expression (3.66b) devient :
n
2 ( q − )
x
a qr
x kbsd
m
M ( x)
= ∑Ni
( x − Li
) +
− ∫ ( x − L1)
( x − t)
dt
m L1
i=
1
2 a
soit
n
2
m+
2
( ) ( )
( qa
− qr
) x kbsd
( x − L1)
M x = ∑ Ni
x − Li
+ −
, pour L1 < x < L (3.67)
m
i=
1
2 a ( m + 1)(
m + 2)
où x est la distance de l’origine des coordonnées à la section dont on détermine les
moments (comprise entre 0 et L = L1+a).
On obtient la valeur maximale du moment fléchissant pour x = L, au milieu de la poutre de
fondation :
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