interactions des fondations et des sols gonflants : pathologie ... - Pastel
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M<br />
n<br />
( x)<br />
N ( L − L )<br />
= ∑<br />
i=<br />
1<br />
i<br />
i<br />
+<br />
( q − q )<br />
a<br />
2<br />
r<br />
2<br />
L<br />
− kbs<br />
d<br />
a<br />
2<br />
( m + 1)(<br />
m + 2)<br />
. (3.68)<br />
La flèche dépend dans le cas général de la superposition <strong>des</strong> eff<strong>et</strong>s <strong>des</strong> forces<br />
concentrées Ni, <strong>des</strong> charges uniformes qa ou qr <strong>et</strong> de la charge due au gonflement du sol<br />
qg(x). Dans le cas considéré, il n’y a pas de forces Ni <strong>et</strong> la pression qa (devenue qr à cause<br />
du gonflement) est uniforme. Ces deux termes ne peuvent par conséquent produire de<br />
flèche de la poutre. Par conséquent, l’équation différentielle générale (3.72) :<br />
2<br />
d w<br />
EI = M(<br />
x)<br />
.<br />
2<br />
dx<br />
qui s’écrit, en tenant compte <strong>des</strong> équations (3.66a) <strong>et</strong> (3.67) :<br />
2<br />
n<br />
2<br />
d w 1 ⎡<br />
( )<br />
( q − ) ⎤<br />
a qr<br />
x<br />
= ⎢∑<br />
Ni<br />
x − Li<br />
+ ⎥ pour x < L1<br />
2<br />
dx EI ⎣ i=<br />
1<br />
2 ⎦<br />
(3.69a)<br />
ou<br />
2 n<br />
2<br />
m+<br />
2<br />
d w<br />
( )<br />
( qa<br />
− qr<br />
) x kbsd<br />
( x − L1)<br />
= N x L<br />
2 ∑ i − i + −<br />
pour L1 < x < L m<br />
dx i=<br />
1<br />
2 a ( m + 1)(<br />
m + 2)<br />
se réduit à<br />
(3.69b)<br />
2<br />
d w<br />
= 0 2<br />
dx<br />
pour x < L1 (3.70a)<br />
<strong>et</strong><br />
2<br />
m+<br />
2<br />
d w kbs d ( x − L1)<br />
= 2<br />
m<br />
dx EIa ( m + 1)(<br />
m + 2)<br />
pour L1 < x < L . (3.70b)<br />
Après double intégration de l’équation (3.70b), on obtient l’équation de la flèche d’une<br />
poutre. Les deux constantes d’intégration C1 <strong>et</strong> C2 sont déterminées d’après les conditions<br />
aux limites suivantes.<br />
La première intégration donne l’expression de l’angle de rotation θ(x) de la section de la<br />
poutre :<br />
m+<br />
3<br />
dw kbsd<br />
( )<br />
( x − L1)<br />
= θ x =<br />
+ C<br />
m<br />
1<br />
dx EIa ( m + 1)(<br />
m + 2)(<br />
m + 3)<br />
pour L1 < x < L . (3.71)<br />
Pour x = L, c<strong>et</strong> angle de rotation doit être nul (pour raison de symétrie), d’où :<br />
m+<br />
3<br />
kbsd<br />
a<br />
C1<br />
= −<br />
. m<br />
EIa ( m + 1)(<br />
m + 2)(<br />
m + 3)<br />
La deuxième intégration donne l’expression de la flèche en fonction de x :<br />
(3.72)<br />
m+<br />
4<br />
m+<br />
3<br />
kbs ⎡ d ( )<br />
( x − L1)<br />
a x ⎤<br />
w x =<br />
C<br />
m ⎢<br />
−<br />
⎥ + 2 .<br />
EIa ⎣(<br />
m + 1)(<br />
m + 2)(<br />
m + 3)(<br />
m + 4)<br />
( m + 1)(<br />
m + 2)(<br />
m + 3)<br />
⎦<br />
La valeur de C2 est déduite de la condition : x = L ; a = L-L1 ; w(x) = 0<br />
(3.73)<br />
Alors :<br />
m+<br />
4 ( L − L1<br />
)<br />
( m + 1)(<br />
m + 2)(<br />
m + 3)(<br />
m + 4)<br />
( )<br />
( )( )( ) ⎥ m+<br />
3<br />
L - L ⎤<br />
1 x<br />
m + 1 m + 2 m + 3 ⎦<br />
kbs ⎡ d<br />
C2<br />
= − ⎢<br />
−<br />
. (3.74)<br />
m<br />
EIa ⎣<br />
w<br />
( x)<br />
kbs<br />
=<br />
EIa<br />
d<br />
m<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
m+<br />
4<br />
m+<br />
3<br />
( x − L1<br />
)<br />
a x<br />
−<br />
− ....<br />
( m + 1)(<br />
m + 2)(<br />
m + 3)(<br />
m + 4)<br />
( m + 1)(<br />
m + 2)(<br />
m + 3)<br />
( )<br />
( )( )( )( ) ( )( )( ) ⎥ m+<br />
4<br />
m+<br />
3<br />
L − L1<br />
a L ⎤<br />
−<br />
+<br />
m + 1 m + 2 m + 3 m + 4 m + 1 m + 2 m + 3 ⎦<br />
125<br />
. (3.75)
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