interactions des fondations et des sols gonflants : pathologie ... - Pastel

A
B
C
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ⎪ ⎪
ξ = cosh ξ cos ξ
⎫
ξ = 0,
5 cosh ξ sin ξ + sinh ξ cos ξ
⎪
⎬
ξ = 0,
5 sinh ξ sin ξ
ξ = 0,
25 cosh ξ sin ξ − sinh ξ cos ξ
(3.11)
D
⎭
La méthode des paramètres initiaux consiste à déterminer les constantes Ki à partir des
valeurs de la flèche w(ξ), de l’angle de rotation θ(ξ), du moment fléchissant M(ξ) et de
l’effort tranchant Q(ξ) pour ξ=0 (c’est-à-dire à l’origine des coordonnées, d’où le nom de
paramètres initiaux), soit wo, qo, Mo et Qo.
Pour z=0, on a A(0)= 1 et B(0) = C(0) = D(0) = 0. On obtient donc :
K1
= w o K 2 = θo
Mo
K 3 =
EI
Qo
K 4 = .
EI
La formule (3.11) prend alors la forme suivante :
Mo
2 Qo
3
w(
ξ)
= w oA(
ξ)
+ θoL
oB(
ξ)
− LoC(
ξ)
− LoD(
ξ)
EI EI
Mo
Qo
2 4
θ(
ξ)
= θoA(
ξ)
− LoB(
ξ)
− LoC(
ξ)
− w oD(
ξ)
EI EI Lo
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
M ξ = M A ξ + Q L B ξ
2
+ kw L C ξ
3
+ kθ
L D ξ
Q
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
o
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎪ ⎪⎪⎪
2
ξ = Q A ξ + kw L B ξ + kθ
L C ξ − M D ξ
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
4
L
o
o
o
⎭
(3.12)
La solution de ce problème peut être obtenue lorsqu’il existe le long de la poutre un
nombre quelconque de forces concentrées et de charges réparties.
Dans la méthode des déformations élastiques généralisées, lorsque l’on utilise l’équation
différentielle du quatrième ordre (3.7), la pression de contact du sol sous la poutre est
donnée sous forme d’un polynôme du n-ième degré :
( x)
q +
2 3
n
= ao
+ a1x
+ a2x
+ a3x
+ ... anx
. (3.13)
Le problème se réduit à la détermination de la pression de contact q(x), introduite dans
l’équation d’équilibre des flèches de la fondation et des tassements du sol, déduits de
l’équation de Flamand, qui permet de déterminer les coefficients inconnus ai (Gorbunov-
Posadov, 1949, 1953).
Dans la méthode de Simvulidi (1973), la pression de contact est définie sous la forme :
2
3
a1
⎛ L ⎞ a2
⎛ L ⎞ a3
⎛ L ⎞
q( x)
ao
+ 2 ⎜z
− ⎟ + 4 z 8 z
2 ⎜ − ⎟ + 3 ⎜ − ⎟
L ⎝ 2 ⎠ L ⎝ 2 ⎠ L ⎝ 2 ⎠
= (3.14)
La résolution de l’équation (3.7) avec la fonction (3.14) conduit à déterminer huit
constantes, en utilisant deux équations d’équilibre, deux conditions aux limites et quatre
conditions de contact de la poutre et du sol : l’égalité de la flèche de la fondation et du
tassement du sol (selon Flamand) dans la section d’extrémité gauche, l’égalité de leurs
valeurs au milieu de la fondation, l’égalité des surfaces délimitées par les deux courbes de
déformation, l’égalité des dérivées initiales des deux fonctions au milieu de la fondation.
Le principe de résolution de ce problème en utilisant des relations différentielles et la
réaction du sol de fondation q(x) comme inconnue, que ce soit avec des relations
polynomiales ou d’autres fonctions, nous semble le mieux adapté à l’étude des sols
gonflants où la valeur de q(x), qui est liée à la pression de gonflement, est le facteur
déterminant et doit être déterminée avec la plus grande fiabilité.
84