interactions des fondations et des sols gonflants : pathologie ... - Pastel

1. y = 0 ; x = 0 ; ∆σzyx = ∆σzo = ao , d’où ao = ∆σzo
2.
3.
( ∆σ
)
d zyx
dy
= a1
a
y = 0 ; a1 = 0
( ∆σ
)
d zyx
dx
= a2
b
x = 0 ; a2 = 0
o
o
1
2a
+ z tan β
1
2a
+ z tan β
3
4
y
+ 3a
2 5
( a + ztan
β)
( a + ztan
β)
o
x
+ 3a
2 6
( b + ztan
β)
( b + ztan
β)
o
Sous le coin d’une fondation rectangulaire y = ao + z tan β et x = bo+ z tan β, d’où :
4. Sur la face extérieure y = ao + z tan β , x = 0 ; ∆σzyx = 0 ;
a3+a5 = -∆σzo
5. Sur la face extérieure x = bo + z tan β ; y = 0 ; ∆σzyx = 0 ;
6.
7.
( ∆σ
)
a4 + a6 = -∆σzo
d zyx
= 2a3
+ 3a5
+ a7
= 0
dy
d(
∆σzyx
)
= 2a3
+ 3a5
+ a7
= 0
dx
∆ σ = 0 ; a + a + a + a + a = −∆σ
8. zyx
3 4 5 6 7
zyx
L’équation (4.9) s’écrit donc sous la forme :
⎡
2 ⎛ y
∆σ ⎢ ⎜
zyx = 1 − 3
⎜
2
⎢⎣
⎝ ( ao
+ z tan β)
2
3
x ⎞ ⎛ y
+
⎟ + ⎜
( tan ) ⎟
2 2 ⎜
3
bo
+ z β ⎠ ⎝ ( ao
+ z tan β)
3
x ⎞⎤
+
⎟⎥
+ ...
3
( b + tan β)
⎟
o z ⎠⎥⎦
... +
a
xy
+ z tan β b + z tan β
(4.10)
( )( )
o
o
On obtient la valeur inconnue de la contrainte maximale ∆σzo en écrivant la condition
d’équilibre :
β + β +
a z tan b z tan
∫ ∫
o o
∆σ
a b =
∆σ
dxdy
(4.11)
o
o
o
o
o
zyx
Après intégration, prise en compte des conditions aux limites et quelques
transformations cette équation s’écrit :
4∆σoaobo
∆σzo
=
(4.12)
a + z tan β b + z tan β
( )( )
o
o
L’expression de l’incrément de contrainte ∆σzyx s’écrit donc sous la forme :
⎪⎧
2
4σ
⎡
oaobo
y
∆σzyx =
⎨1−
3⎢
2
( ao
+ z tan β)(
bo
+ ztan
β)
⎪⎩ ⎣(
ao
+ z tan β)
2
x ⎤
+
⎥ + ... 2
( bo
+ z tan β)
⎦
3 ⎡ y
... + 2⎢
3
⎣ ao
+ z tan β
+
3
x ⎤
⎥ + 3
bo
+ z tan β ⎦
xy ⎪⎫
⎬
ao
+ z tan β bo
+ z tan β
(4.13)
o
o
y
x
2
2
3
3
= 0
= 0
( ) ( ) ( )( )⎪ ⎭
À titre d’exemple, nous avons calculé les contraintes créées par une plaque rigide
rectangulaire de dimensions ao = 1m et bo = 2m, chargée par une pression moyenne
σo = 180 kPa, pour β = 20 degrés. Les résultats sont représentés sur la figure 96.
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