interactions des fondations et des sols gonflants : pathologie ... - Pastel

Pour généraliser les formules de calcul (4.1) et (4.2), on peut tenir compte de
propriétés définies par couches, et libérer les valeurs de l’angle β de diffusion des
contraintes en fonction de la profondeur. Ejjaaouani et al. (2004) ont présenté une
évaluation des contraintes créées dans le sol par une fondation superficielle par
développement en séries. Si l’on calcule les valeurs moyennes de ces contraintes à
la profondeur z sous la fondation, on obtient les relations (4.3), (4.4) et (4.5) :
∆σ
z
=
∆σ
R
o
2
( ) 2
R + z tan β
( a + 2z
tan β)(
b + 2z
tan β)
pour les semelles circulaires, (4.3)
∆σoab
∆σz
=
, pour les semelles rectangulaires, (4.4)
∆σob
∆σz
=
, pour les semelles filantes, (4.5)
b + 2z
tan β
avec les notations suivantes :
∆σo – pression moyenne sous la semelle,
R – rayon de la semelle circulaire,
a, b – côtés de la semelle carrée,
b – largeur de la semelle filante.
4.3 Problème axisymétrique de la plaque circulaire
Considérons une plaque rigide circulaire de rayon R, appuyée sur un massif de sol
qui possède un angle de diffusion des contraintes β. Un effort uniformément réparti
est appliqué sur toute la surface de la plaque et applique une pression moyenne ∆σo
sur le sol. Sous l’effet de cette charge, il se développe en tout point du massif de sol,
situé à la profondeur z et à la distance radiale ρ de l’axe de la plaque, une réaction
verticale dont la composante verticale est notée ∆σzρ. Cette composante peut être
évaluée de différentes façons, en fonction des hypothèses faites sur le
comportement du sol, les conditions de contact avec la plaque, etc. Nous avons
choisi d’en donner une description analytique directe, qui lui donne une forme
comparable aux résultats des autres modes de calcul. L’expression adoptée est la
suivante :
z ao a1
a2
ro
r ro
r
a3
ro
r ⎟ ⎛ ρ ⎞ ⎛ ρ ⎞
∆σ ⎜
⎟
⎜
⎟
ρ = + +
⎝ + ⎠ ⎝ + ⎠
⎛ ρ ⎞
+ ⎜
⎝ + ⎠
(4.6)
avec r = tan β et les notations définies sur la figure 91.
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Les coefficients a0, a1, a2 et a3 de l’équation (4.6) sont déduits des conditions aux
limites du problème :
- sous le milieu de la fondation, pour ρ = 0, ∆σzρ = ∆σzo ;, d’où a0 = ∆σzo ;
- sous le milieu de la fondation, pour ρ = 0, la dérivée de ∆σzo par rapport à ρ
est nulle (ce qui traduit le fait que la courbe est symétrique autour de l’axe),
d’où a1 = 0 ;
- au bord de la zone de diffusion de la charge, pour ρ = ro+r, la dérivée de ∆σzo
par rapport à ρ est nulle, d’où a2 = -3a3/2 ;
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