Dispense del corso di Elementi di Fisica Atomica e Molecolare

2⎡ h 1⎢−2⎣ µ r∂ ⎛⎜r∂r⎝2∂ ⎞ h⎟ +∂r⎠2022l(l + 1) Ze ⎤− ⎥ R(r)= ER(r)22µr 4πεr ⎦che si semplifica ulteriormente effettuando la sostituzione R(r)= Χ(r)/r diventando:2 2 22⎡ h d h l(l + 1) Ze ⎤⎢−+ − ⎥ X(r)= EX(r)22⎣ 2µdr 2µr 4πε0r⎦Poiché le armoniche sferiche sono normalizzate, la condizione di normalizzazione per la funzioned’onda ∫|Ψ(r,θ,φ)| 2 r 2 dΩdr =1 implica che ∫|Y lm(θ,φ)| 2 dΩ∫| R(r)| 2 r 2 dr =∫| R(r) | 2 r 2 dr =1 e quindi:∫| X(r) | 2 dr=1Si vede allora che le sostituzioni effettuate hanno ridotto il problema a quello del motounidimensionale di una particella di massa µ in una regione semilimitata dello spazio (r≥0) e in uncampo di energia potenziale2 2Ze h l(l + 1)V eff (r )= − +24πεr 2µr0Il primo termine di questo potenziale effettivo è l’energia potenziale coulombiana attrattiva. Ilsecondo e’ un contributo repulsivo dovuto alla forza centrifuga che spinge l’elettrone che possiedemomento angolare l≠0 lontano dal nucleo, impedendogli di avvicinarsi eccessivamente ad esso. Ilpotenziale risultante ha la forma mostrata in figura:10