Dispense del corso di Elementi di Fisica Atomica e Molecolare

in quanto in tal caso tutti gli altri elettroni saranno completamente interni e il loro effetto dischermo della carica nucleare sarà completo S(∞)=N.Nel caso di atomi neutri in cui N=Z, si ha in tale limite V(r→∞)= -La forma di V(r) a distanze intermedie è molto più complicata da determinare.Il problema sta nel fatto che tale potenziale dipende dai dettagli delle distribuzioni di carica deglielettroni che non sono note fino a quando non si conoscano le autofunzioni del problema stesso.Tale problema puo’ essere risolto con il metodo autoconsistente.Si procede cosi:• Si calcolano le soluzioni con un potenziale efficace di partenza il più ragionevole possibile• Con tali soluzioni si calcola una migliore approssimazione del potenziale efficace in base alladistribuzione di carica degli elettroni.• Si risolve nuovamente il problema trovando nuove autofunzioni per gli elettroni e si ricalcola ilpotenziale efficace.• Si va avanti fino a quando il potenziale trovato non cambia e quindi anche le soluzionirimangono invariate.Bisogna notare che poiché il potenziale V(r) dipende dallo stato dinamico degli elettroni lo stessopotenziale efficace V(r) non può essere utilizzato per tutto lo spettro dell’atomo. Tuttavia serestringiamo la nostra attenzione allo stato fondamentale e ai primi stati eccitati è ragionevoleassumere che un potenziale fisso V(r) possa essere utilizzato.Vediamo ora le caratteristiche generali che derivano da tale modello e che sono indipendenti dallaforma esplicita di V(r).L’Hamiltoniana centrale è separabile. Ciò significa che l’equazione di Schroedinger totale a Nelettroni può essere separata in un set di N equazioni della stessa forma. Ciascuna di questeequazioni descrive un elettrone che si muove indipendentemente dagli altri nel potenziale V(r).Abbiamo cioè:2h 2[ − ∇ r + V(r)] unlm(r)= E nl unlm(r)2mdove le funzioni unlm(r) hanno la forma:unlm(r)=F nl (r)Ylm(θ,φ)visto che il potenziale V(r) è centrale.Analogamente al caso idrogenoide i numeri quantici n lm possono assumere i valori:n=1,2,…….l=0,1, …..n-1m=-l,………,lViceversa le funzioni radiali F nl (r) saranno differenti dal caso idrogenoide perché il potenziale V(r)non è lo stesso.2e4πε0r74