Dispense del corso di Elementi di Fisica Atomica e Molecolare

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Per ottenere la struttura fine dei livelli energetici dovuta all’interazione spin orbita dobbiamodiagonalizzare H 2 nel sottospazio degenere di H c +H 1 ossia delle autofunzioni | γ LSM L M S > con Le S fisso e M L e M S variabili.Si può far vedere che per fissati valori di L e S (momento angolare e di spin totali), per il teorema diWigner EckartγLSMM ∑ ξ(r) L ⋅ S γLSM' M ' = A( γLS)γLSMM L ⋅SγLSMLSiiiiLSDi conseguenza diagonalizzare H 2 nel suddetto sottospazio equivale a diagonalizzare l’operatoreH SO = A ( γ LS)L ⋅SOsserviamo che tale operatore commuta con L 2 ma non commuta con L z e S z .Introduciamo l’operatore momento angolare totale J= L+S.J 2 = L 2 +S 2 +2L⋅S da cui ricaviamoL⋅S= 21 [J 2 -L 2 -S 2 ]LSL' MS'Si vede allora che H SO = 21A(γ LS) [J 2 -L 2 -S 2 ] è diagonale nel sottospazio degenere se utilizzo comeautofunzioni le autofunzioni diL 2 ,S 2 , J 2 , J zdove, fissati L e S, J assumerà i valori |L-S|≤J≤|L+S|.Le energie di tali stati al variare di J sono degeneri per effetto di Hc+H 1 ma si separano per effettodella correzione spin-orbita H 2.La correzione all’ordine più basso dovuta a H 2 è:1< γLSJMJ | H 2 | γLSJMJ >= A( γLS)+2[ J(J + 1) − L(L + 1) − S(S 1) ]di modo tale che il livello imperturbato ) LS (γ si separa in un multipletto di 2S+1 livelli (se L≥S) o2L+1 livelli (se S≥L) a seconda del valore di J.82
Multipletti regolariSi può inoltre osservare che poichè la costante A non dipende da J, la separazione tra i livelli delmultipletto è regolare. Si ha infatti che:11E(J)-E(J-1)= A[ J(J + 1) − L(L + 1) − S(S + 1) ] − A [(J−1)J− L(L + 1) − S(S + 1) ] = AJ22Cioè la separazione tra ciascuna coppia di livelli del multipletto è proporzionale al valore piùgrande, nella coppia, di J.Questo risultato è noto come regola dell’intervallo di Landè. E’ ben soddisfatta se l’atomo è bendescritto dall’accoppiamento L-S (H 2
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