Dispense del corso di Elementi di Fisica Atomica e Molecolare

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un massimo che corrisponde al raggio più probabile, r=a 0 , al quale si può incontrare l'elettroneintorno al nucleo.La probabilità di trovare l'elettrone è massima per r=a o ed è zero sul nucleo, dove il numero deglielementi di volume diventa infinitamente piccolo in confronto al numero di essi associato con valoridi r maggiori.Per l'atomo di H nello stato fondamentale questo valore coincide con il raggio di Bohr. Tuttavia,piuttosto che enfatizzare l'analogia fra i due risultati, è preferibile focalizzare la nostra riflessionesulla profonda differenza tra le due teorie: in quella di Bohr l'elettrone si trova solo ad una distanzadefinita dal nucleo, secondo la meccanica ondulatoria l'elettrone è invece del tutto "nonlocalizzato", ma si trova con maggior probabilità a distanza 0.53 Å dal nucleo.N. B.Il motivo per cui in questo caso abbiamo definito sferica la superficie di massima probabilità ègiustificato dal fatto che la funzione densità di probabilità è costante per ogni punto r equidistantedal nucleo visto che la funzione d’onda ψ 100 (r) ha simmetria sferica cioè dipende esclusivamente dar ed è indipendente da una qualsiasi direzione θ e ϕ. Vedremo in dettaglio in seguito come ciò èvero solo per gli stati s (l=0).14
La densità di carica elettronicaApplichiamo il principio di indeterminazione ad un elettrone di massa m = 9,1x10 -31 Kg che simuove con una velocità v ~ 2x10 6 m/s (velocità tipica dell’elettrone nell’atomo). Supponiamo chel'indeterminazione nella velocità sia anche qui il 10% di v, cioè ∆v = 0,2.106 m/s. Perl'indeterminazione nella posizione (∆x) si trova:In questo caso, come si può ben vedere, l'indeterminazione nella posizione è dell'ordine digrandezza delle dimensioni atomiche e non può quindi in nessun modo venire trascurata trattandoquestioni atomiche. E' cioè impossibile dire dove si trova un elettrone all'interno di un atomo. Nonsi può quindi descrivere l'orbita di un elettrone all'interno di un atomo poiché la fascia diindeterminazione si rivela, in questo caso, larga quanto la distanza dell'orbita dal nucleo. Troviamocosì che la meccanica quantistica non ci fornisce alcuna informazione sulla traiettoria seguita da unelettrone intorno al nucleo. Non potremo più parlare di orbite percorse dagli elettroni, chepresuppongono sia valori finiti e ben determinati della distanza dal nucleo sia la conoscenza dellaposizione e della velocità dell'elettrone. In luogo di queste orbite dovremo considerare un certovolume entro cui e possibile o probabile che l'elettrone si trovi.C'è un altro modo però di intendere la funzione d’onda . E' certamente un modo che soddisfa di piùla nostra abitudine a crearci modelli meccanici della realtà fisica che non il rigore dell'esattainterpretazione. Dobbiamo supporre di avere, anziché il vecchio punto materiale che ci descrivel'elettrone in moto con tutta la sua carica concentrata, una nuvola di carica, cioè l'elettrone diffuso inun certo volume di spazio. Questa nuvola di carica non avrà densità uniforme ma, in ogni punto, lasua densità sarà proporzionale a |ψ nlm(r)| 2 . Dove la |ψ nlm(r)| 2 assume un grande valore, lì si avràuna densità maggiore per la nuvola, e lì si troverà concentrata la gran parte della carica negativapropria dell'elettrone. La differenza essenziale tra questo modo di vedere le cose e quelloprecedente è che, invece di parlare di densità di probabilità, si parla di densità materiale diparticella. Poiché la carica totale dell’elettrone è –e, si avrà che la densità di carica elettronica è datada:ρ(r)=-e |ψ nlm(r)| 2 .Nelle figure seguenti sono mostrati i diagrammi a punto delle densità di probabilità |ψ| 2 =|R nl (r)| 2|Y lm(θ,φ)| 2 (i punti sono tanto più densi quanto più è alta la probabilità di trovare l’elettrone) dialcuni stati dell’atomo di idrogeno. A tale distribuzione di probabilità corrisponde quindi unadensità di carica elettronica ρ(r)=- e|ψ(r)| 2 =-e|R nl (r)| 2 |Y lm(θ,φ)| 215
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