Dispense del corso di Elementi di Fisica Atomica e Molecolare

) Altri effetti relativisticiIn una teoria esatta, relativistica, il moto dell’elettrone si deriva dall’equazione di Dirac. Se sisviluppa tale teoria e ci si ferma al primo ordine in v 2 /c 2 si ottiene una Hamiltoniana:H=H 0 +H’4p 1 1 dV πhZeCon H’= H 1 ’+H 2 ’+H 3 ’= − +L ⋅ S +δ(r)3 2 2 28m c 2m c r dr2 22m c 4πε• Il primo termine è il termine di correzione dell’energia cinetica dell’elettrone• Il secondo termine e’ l’accoppiamento spin-orbita che abbiamo visto• Il terzo termine è detto termine di Darwin e agisce solo su stati l=0 in cui la funzione d’onda è≠0 nell’origine.220I tre termini dell’Hamiltoniana H’ sono dello stesso ordine di grandezza ∆E/E n =(Zα) 2 /n∼Z 2 10 -4 . Percalcolare la correzione relativistica totale ai livelli energetici, devono quindi essere trattaticontemporaneamente.Possiamo osservare che il termine di correzione dell’energia cinetica ed il termine termine diDarwin sono diagonali nel sottospazio degenere (individuato da tutti gli autostati con lo stessovalore di n) sia utilizzando come nel set di base le autofunzioni ψ(q)=χ ms ψ nlm (r), sia quelleψ nljmj=∑ m,msχ ms ψ nlm(r ), autofunzioni di L 2 ,S 2 , J 2 , J z .Poiché viceversa il termine spin-orbita è diagonale solo qualora si utilizzino come base le ψ nljmj lacorrezione al primo ordine dovrà essere calcolata utilizzando queste ultime.Si ottiene:∆E==∆E 1 +∆E 2 +∆E 3 =∆E n,j∆E n,j =-12mc2(Zα)n44⎡⎢ n⎢⎢1j +⎣ 2⎤3⎥− ⎥4⎥⎦= −12mc2(Zα)n22(Zα)n22⎡⎢ n⎢⎢1j +⎣ 2⎤3⎥− ⎥4⎥⎦= − | En(Zα)|2n2⎡⎢ n⎢⎢1j +⎣ 2⎤3⎥− ⎥4⎥⎦dove l=0, 1,…..n-1j=l±½→ j=1/2, 3/2,……, n-1/2 assume n valoriSi vede quindi che per un effetto di compensazione la correzione dipende solo dal valore di j.Il livello si separa quindi in n livelli a j definito. A parità di n e j gli stati con diverso valore di lsono ancora degeneri.Vediamo ad esempio come contribuiscono i vari termini nel caso del livello n=2 dell’atomo diidrogeno30