Dispense del corso di Elementi di Fisica Atomica e Molecolare

1.1 L’equazione di Schroedinger per gli atomi idrogenoidiL’Hamiltoniana che descrive il moto di un nucleo di massa M e carica Ze e un elettrone di massa me carica –e che interagiscono elettrostaticamente è:2hH = − ∇2M2R2h− ∇2m2re−4πε02Ze| R − re|Poiché l’Hamiltoniana non dipende dallo spin, la funzione d’onda totale ψ(q) degli stati stazionaridell’elettrone sarà esprimibile come prodotto ψ(q)=χ ms ψ (r) in cui χ ms sono autostati deglioperatori s 2 e s z con autovalori s=1/2 e m s =±1/2 e ψ (r) è la soluzione dell’equazione agli autovaloriHψ (r)=Eψ (r)Per trovare la soluzione di tale equazione, poiche’ il potenziale dipende solo dalla distanza r tra ledue particelle, e’ conveniente porsi nel sistema di riferimento del centro di massa in cui taleHamiltoniana diventa:H22h 2 Ze− ∇ −2µ4πεr= r0(r è la coordinata relativa r=r e -R)MmIn tale equazione µ= e’ la massa ridotta del sistema. (Poiché M>>m, µ≈m).M + mCon un potenziale a simmetria sferica è conveniente passare in coordinate polari dovel’equazione di Schroedinger assume la forma:2⎡ h 1⎢−2⎣ µ r∂ ⎛⎜r∂r⎝2∂ ⎞ L⎟ +∂r⎠ 2µr22202Ze ⎤− ⎥ Ψ(r,θ,φ)= EΨ(r,θ,φ)4πεr ⎦Tutta la dipendenza dagli angoli è contenuta nell’operatore momento angolare L=r×p.Poichè l’Hamiltoniana commuta con gli operatori L 2 e L z (componenete del momento angolarelungo l’asse z) le autofunzioni possono essere scelte della forma:Ψ(r,θ,φ)=R(r)Y lm(θ,φ)Le funzioni Y lm(θ,φ) sono le armoniche sferiche, autofunzioni degli operatori L 2 e L z chesoddisfano:L 2 Y lm(θ,φ)=h 2 l(l+1)Y lm(θ,φ)L z Y lm(θ,φ)=hm Y lm(θ,φ)dove -l≤m≤l assume, per ogni l, (2l+1) valori.Le funzioni d’onda radiali R(r) e gli autovalori di energia E si possono ricavare risolvendol’equazione:9