Dispense del corso di Elementi di Fisica Atomica e Molecolare

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1.1.2 Struttura fine dei livelli energeticiMomento di dipolo magnetico dell’elettrone nell’atomo idrogenoideGli elettroni possiedono un momento magnetico legato al valore del momento angolare:e µBµ L = − L = − L2m hdove µ B=eh = 9.27×10 -24 Joule/Tesla e’ il magnetone di Bohr.2mL’espressione per il momento magnetico µ L puo’ essere spiegata classicamente considerando ilmoto a velocità costante v di una particella di carica –e in un orbita circolare di raggio r intorno alnucleo, secondo lo schema mostrato nella seguente figura.In tale approssimazione |µ| =iA con i=ev/2πr e A=πr 2 . Sostituendo si ottiene |µ|=evr/2.Poiche’ il momento angolare è L=mvr, si ha |µ|=eL/2m. Tenendo conto del verso della corrente edella direzione dei vettori si ottiene l’equazione vettoriale precedente.Gli elettroni possiedono oltre a un momento angolare orbitale un momento angolare intrinseco: lospin. Si è dimostrato sperimentalmente mediante l’esperimento di Stern-Gerlak e in seguito spiegatoteoricamente nell’ambito della teoria relativistica che gli elettroni possiedono anche un momentomagnetico intrinsecoe 2µBµ S = − S = − Sm hIl momento magnetico totale risulta quindi:µBµ=µ L +µ S = − ( L + 2S)h26
Effetti relativisticia) Interazione spin-orbitaL’origine dell’interazione spin-orbita stà nell’interazione tra il momento di dipolo magnetico dispin dell’elettrone e il campo magnetico interno di un atomo ad un elettrone che dipende a sua voltadal momento orbitale dell’elettrone.Per valutare il campo magnetico interno sentito dall’elettrone è conveniente porsi nel sistema diriferimento dell’elettrone. In tale sistema di riferimento il nucleo di carica Ze è in moto ed è quindipresente una corrente che genera un campo magnetico.Se il moto relativo del protone rispetto all’elettrone fosse rettilineo il campo magnetico vistodall’elettrone sarebbe1B = − v × E2cdove il campo elettrico E è dato daF 1 dVE =r− e = er dr1B = −2c1v × E = −2c1 dVer dr1v × r =2mc e1 dVr drPoiché l’elettrone ha un momento magnetico intrinsecoeµ S = − SmL1 1 dVH so =-µ S ⋅B= L ⋅S2 2m c r drIn realtà il moto dell’elettrone non è rettilineo uniforme. Tenendo conto di ciò si ottiene uncontributo più piccolo di un fattore 2 (effetto noto come precessione di Thomas)Si ottiene cioè:1H SO =22m c21 dVL ⋅ Sr drTale termine di interazione è molto piccolo e introduce correzioni all’energia dell’ordine∆E/E n =(Zα) 2 /n∼Z 2 10 -4 . Può quindi essere trattato nell’ambito della teoria delle perturbazionidegeneri.Consideriamo cioè il sottospazio, di dimensione 2n 2 , delle ψ(q)=χ ms ψ nlm (r)=χ ms R nl (r )Y lm (θ,φ)Zcorrispondente a ciascun livello energetico E n = −R dell’Hamiltoniana imperturbata2n2 2p ZeH 0 = −2m 4πεr0Osserviamo che H SO commuta con L 2 ma non commuta con L z e S z . Cio’ significa che taleperturbazione mescola stati con diversi valori di m e m s . Le funzioni d’onda da utilizzare percalcolare la correzione dell’energia sono quindi quelle che diagonalizzano, nel sottospaziodegenere, H SO .227
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