Dispense del corso di Elementi di Fisica Atomica e Molecolare

Introduciamo l’operatore momento angolare totale J= L+S.J 2 = L 2 +S 2 +2L⋅S da cui ricaviamoL⋅S= 21 [J 2 -L 2 -S 2 ]Si vede allora che H SO = 21 ξ(r) [J 2 -L 2 -S 2 ] è diagonale nel sottospazio degenere se utilizzo comeautofunzioni le autofunzioni diL 2 ,S 2 , J 2 , J zTali autofunzioni sono le combinazioni lineari degli autostati χ ms ψ nlm(r) (nel sottospazio degenerequindi a n fissato) i cui coefficienti sono i coefficienti di Clebsh-Gordan dove s=½ -l≤m≤.l; m s =±½Ψ nljmj=∑ m,msχ ms ψ nlm(r)Per le regole di addizione dei momenti angolarij= l ± ½ se l≠0 che si riduce a j= ½ se l=0;-j≤m j ≤.j assume 2j+1 valori.Introducendo i corretti valori dei coefficienti di Clebsch-Gordan, avremo allora che⎡⎢Ψ n,l,j=l+1/2,mj =R nl (r) ⎢⎢⎢⎣⎡⎢Ψ n,l,j=l-1/2,mj =R nl (r) ⎢−⎢⎢⎣l + mj+2l+ 1l − mj12+2l+ 1Y121l,mj−2Yχ1l,mj−2+χ+++l − mj+2l+ 1l + mj12+2l+ 1Y121l,mj+2Yl,mj+⎤⎥χ−⎥⎥⎥⎦⎤⎥1 χ−⎥⎥2⎥⎦La correzione all’energia la possiamo calcolare come2h∆E SO ==2[j(j+1)- l (l+1)-s(s+1)]doveξ(r)=2m12c21 dVr dr=2m12c22Ze4πε0r13Ze(nel calcolo abbiamo utilizzato V= - )4πεrPoiché2028