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Dispense del corso di Elementi di Fisica Atomica e Molecolare

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Si noti che qualora (n 1 l 1 m 1 )= (n 2 l 2 m 2 ), ovvero se i due elettroni sono nello stesso stato spaziale, lacombinazione antisimmetrica si annulla.Ciò corrisponde al principio <strong>di</strong> Pauli: due elettroni non possono stare nello stesso stato spaziale e <strong>di</strong>spin. Se sono nello stesso stato spaziale dovranno necessariamente avere spin opposto e quin<strong>di</strong> starein uno stato <strong>di</strong> singoletto S=0. Poiché la funzione d’onda <strong>di</strong> spin è antisimmetrica, dovranno avereuna funzione d’onda spaziale simmetrica.Questo è vero in particolare nello stato fondamentale in cui i due elettroni sono entrambi nello statoa energia piu’ bassa 1s. Lo stato fondamentale avrà quin<strong>di</strong> S=0 e funzione d’onda spazialeψ 0 0 (r 1 ,r 2 )= ψ 1s(r 1 )ψ 1s(r 2 )L’energia <strong>del</strong>lo stato fondamentale all’or<strong>di</strong>ne 0 è:(0)E0=-2RZ 2Se consideriamo il caso <strong>del</strong>l’elio Z=2(0)E0=-8R=-108.8eVTale valore deve essere confrontato con il valore sperimentale E 0 =-78.88 eVVe<strong>di</strong>amo che l’energia all’or<strong>di</strong>ne 0 è molto più bassa <strong>di</strong> quella sperimentale in quanto abbiamotrascurato completamente il termine positivo repulsivo <strong>del</strong>l’interazione coulombiana tra i dueelettroni.Ve<strong>di</strong>amo ora quale è l’effetto al primo or<strong>di</strong>ne <strong>del</strong>la perturbazione sui livelli energeticiSi può <strong>di</strong>mostrare che l’Hamiltoniana H’ e’ <strong>di</strong>agonale nel sottospazio degenere <strong>del</strong>le funzionid’onda imperturbateψ 0 1± (r 1 ,r 2 )= (ψn1l 1m 1(r 1 )ψn 2l 2m 2(r 2 )± ψn 1l 1m 1(r 2 )ψn 2l 2m 2(r 1 ));2la correzione <strong>di</strong> energia al primo or<strong>di</strong>ne può essere pertanto trovata come:∆E (1) =Stato fondamentaleψ 0 0 (r 1 ,r 2 )= ψ 1s(r 1 )ψ 1s(r 2 )∆E 0 (1) =2e4πε0∫ |ψ 1s(r 1 )| 2 1 |ψ1s(r 2 )| 2 dr 1 dr 2r12Tale integrale ha una semplice interpretazione: rappresenta l’interazione elettrostatica tra due<strong>di</strong>stribuzioni <strong>di</strong> carica che si sovrappongono e che hanno densità ρ(r i )=-e|ψ 1s(r i )| 2Il risultato <strong>del</strong> calcolo da:∆E (1) 100 = RZ 861

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