Dispense del corso di Elementi di Fisica Atomica e Molecolare

Si noti che qualora (n 1 l 1 m 1 )= (n 2 l 2 m 2 ), ovvero se i due elettroni sono nello stesso stato spaziale, lacombinazione antisimmetrica si annulla.Ciò corrisponde al principio di Pauli: due elettroni non possono stare nello stesso stato spaziale e dispin. Se sono nello stesso stato spaziale dovranno necessariamente avere spin opposto e quindi starein uno stato di singoletto S=0. Poiché la funzione d’onda di spin è antisimmetrica, dovranno avereuna funzione d’onda spaziale simmetrica.Questo è vero in particolare nello stato fondamentale in cui i due elettroni sono entrambi nello statoa energia piu’ bassa 1s. Lo stato fondamentale avrà quindi S=0 e funzione d’onda spazialeψ 0 0 (r 1 ,r 2 )= ψ 1s(r 1 )ψ 1s(r 2 )L’energia dello stato fondamentale all’ordine 0 è:(0)E0=-2RZ 2Se consideriamo il caso dell’elio Z=2(0)E0=-8R=-108.8eVTale valore deve essere confrontato con il valore sperimentale E 0 =-78.88 eVVediamo che l’energia all’ordine 0 è molto più bassa di quella sperimentale in quanto abbiamotrascurato completamente il termine positivo repulsivo dell’interazione coulombiana tra i dueelettroni.Vediamo ora quale è l’effetto al primo ordine della perturbazione sui livelli energeticiSi può dimostrare che l’Hamiltoniana H’ e’ diagonale nel sottospazio degenere delle funzionid’onda imperturbateψ 0 1± (r 1 ,r 2 )= (ψn1l 1m 1(r 1 )ψn 2l 2m 2(r 2 )± ψn 1l 1m 1(r 2 )ψn 2l 2m 2(r 1 ));2la correzione di energia al primo ordine può essere pertanto trovata come:∆E (1) =Stato fondamentaleψ 0 0 (r 1 ,r 2 )= ψ 1s(r 1 )ψ 1s(r 2 )∆E 0 (1) =2e4πε0∫ |ψ 1s(r 1 )| 2 1 |ψ1s(r 2 )| 2 dr 1 dr 2r12Tale integrale ha una semplice interpretazione: rappresenta l’interazione elettrostatica tra duedistribuzioni di carica che si sovrappongono e che hanno densità ρ(r i )=-e|ψ 1s(r i )| 2Il risultato del calcolo da:∆E (1) 100 = RZ 861