Dispense del corso di Elementi di Fisica Atomica e Molecolare

Atomi con due elettroniL’hamiltoniana di un atomo a due elettroni è (consideriamo per semplicità M=∞):22 2h 2 Ze h 2H = − ∇ r1− − ∇ r22m 4πε0r12m2Ze−4πεr02e+4πε2r0 12La funzione d’onda Ψ è funzione delle coordinate delle coordinate spaziali e di spin dei dueelettroni: Ψ=Ψ(q 1 ,q 2 )Poiche’ i due elettroni sono particelle indistinguibili di spin ½ (fermioni) la funzione d’onda deveessere antisimmetrica per lo scambio delle due particelle: Ψ(q 1 ,q 2 )= -Ψ(q 2 ,q 1 ).Visto che l’Hamiltoniana non dipende esplicitamente dallo spin, la funzione d’onda totale puòessere scritta come prodotto di una funzione delle coordinate spaziali per una funzione dellecoordinate di spin. Si ha cioè:Ψ(q 1 ,q 2 )=ψ(r 1 ,r 2 )χ(1,2)Poiché H è invariante per lo scambio delle due particelle, le autofunzioni spaziali possono esserescelte simmetriche o antisimmetriche rispetto a tale operazione. ψ(r 1 ,r 2 ) e χ(1,2) possono quindiessere separatamente simmetriche o antisimmetriche per lo scambio delle due particelle emoltiplicate tra loro in modo tale che la funzione d’onda totale sia antisimmetrica.Le funzioni d’onda spaziali antisimmetriche saranno accoppiate con le funzioni d’onda di spinsimmetriche e viceversa.Determiniamo innanzitutto le funzioni di spin χ(1,2).Poiché non c’è interazione di spin i due elettroni potranno avere spin up o downindipendentemente uno dall’altro. Abbiamo quindi 4 stati indipendenti che possono essererappresentati come prodotto di 2 funzioni di spin individuali (α corrispondente a m s =1/2, βcorrispondente a m s =-1/2)α(1)α(2)β(1)β(2)α(1)β(2)β(1)α(2)56