Dispense del corso di Elementi di Fisica Atomica e Molecolare
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E’ importante osservare che se Φ e un autostato <strong>di</strong> H <strong>di</strong>fferiscono <strong>di</strong> una quantità δΦ, il principiovariazionale ci <strong>di</strong>ce che la <strong>di</strong>fferenza tra E(Φ) e l’autovalore esatto corrispondente è <strong>del</strong> II or<strong>di</strong>ne inδΦ. Pertanto gli errori che facciamo calcolando l’energia dal funzionale E(Φ) sono <strong>del</strong> II or<strong>di</strong>ne inδΦ. Osserviamo inoltre che il funzionale E(Φ) è in<strong>di</strong>pendente dalla normalizzazione e dalla fase <strong>di</strong>Φ.Applicazione <strong>del</strong> metodo variazionale all'atomo <strong>di</strong> elioVe<strong>di</strong>amo come l’applicazione <strong>del</strong> metodo variazionale permetta <strong>di</strong> trovare una approssimazionemigliore <strong>del</strong>lo stato fondamentale <strong>del</strong>l’atomo <strong>di</strong> Elio rispetto al metodo perturbativo.L'Hamitoniana degli atomi a due elettroni è:22 2h 2 Ze h 2H = − ∇ r1− − ∇ r22m 4πε0r12m2Ze−4πεr02e+4πε2r0 12Nella scelta <strong>del</strong>le funzioni <strong>di</strong> prova φ consideriamo il fatto che l'effetto me<strong>di</strong>o <strong>di</strong> ciascun elettronesull'altro è quello <strong>di</strong> schermare parzialmente il nucleo.Per tener conto <strong>del</strong>la repulsione fra elettroni, possiamo quin<strong>di</strong> pensare <strong>di</strong> adottare per lo statofondamentale <strong>del</strong>le funzioni <strong>di</strong> prova <strong>del</strong> tipo:φ 0 (r 1 ,r 2; Z e )=3/ 23/ 23Z e −ZerZ1 e −ZerZ2 e −Ze+πeπe=πe( r1r2),ossia prodotto <strong>di</strong> funzioni idrogenoi<strong>di</strong> in cui però si sostituisce la vera carica <strong>del</strong> nucleo Z con una``carica efficace'' Z e , che ci aspettiamo essere più piccola <strong>di</strong> Z. Z e sarà il parametro che cercheremo<strong>di</strong> ottimizzare in modo variazionale.Calcoliamo dunque:hE(Z e )= < φ 0 (r 1 ,r 2; Z e )| − ∇2mSi ha:2222r1Ze−4πε2r0 12h− ∇2m2r22Ze−4πεr02e+4πε2r0 12| φ 0 (r 1 ,r 2; Z e )>= = RZ2m2m22ZeZe= = − 2RZeZ4πεr4πεre= RZe820222e70