Dispense del corso di Elementi di Fisica Atomica e Molecolare

1.2.1 Modello a particelle indipendenti: trattazione perturbativa dell’interazionee-eVorremmo a questo punto trovare gli autovalori e le autofunzioni dell’Hamiltoniana.Il problema non e’ risolubile esattamente per via del termine di interazione coulombiana tra i dueelettroni. Dobbiamo quindi procedere a qualche approssimazione.Una approssimazione drastica è di trattare il termine di repulsione coulumbiana come unaperturbazione. Tale approssimazione non è tanto soddisfacente perché tale termine (almeno nel casodi Z non tanto grande) è dello stesso ordine di grandezza dell’interazione coulombiana deglielettroni con il nucleo. Essa comunque permette di ottenere informazioni significative sui livellienergetici e gli stati degli atomi a due elettroni.Si considera cioè l’hamiltoniana imperturbatahZe22 222H0= − ∇ r1− − ∇ r22m 4πε0r12mh2Ze−4πεr02e la perturbazioneH' =e4πε2r0 12Poiché l’Hamiltoniana H 0 è separabile cioè:H 0 =h 1 +h 2dove hih2m22= − ∇ riZe−4πε20riè l’hamiltoniana di un atomo idrogenoide,la funzione d’onda spaziale imperturbata a due elettroni, autostato di H 0 , può essere espressa comeprodotto di funzioni d’onda idrogenoidi. Si ha cioè:ψ 0 (r 1 ,r 2 )= ψn 1l 1m 1(r 1 )ψn 2l 2m 2(r 2 )Poiche’ l’Hamiltoniana e’ invariante per lo scambio delle due particelle possiamo scegliereautofunzioni simmetriche o antisimmetriche rispetto a tale operazioneψ 0 ± (r 1 ,r 2 )=Risulta:1 (ψn1l 1m 1(r 1 )ψn 2l 2m 2(r 2 )± ψn 1l 1m 1(r 2 )ψn 2l 2m 2(r 1 ))2H 0 ψ 0 ± (r 1 ,r 2 )=E 0 n1n2 ψ 0 ± (r 1 ,r 2 )Gli stati simmetrici e antisimmetrici sono degeneri all’ordine 0 con energia:E 0 n 1 n 22= −RZ⎡ 1⎢⎢⎣n121+n22⎤⎥⎥⎦59