Dispense del corso di Elementi di Fisica Atomica e Molecolare

d 3 r intorno al punto di coordinate r, θ e ϕ, dipende solo dalladistanza radiale e non dagli angoli θ e ϕ. Applicando allo statol’operatore r z si ottiene:r0r ψ () rR ( r)cosθz a=10Y 0che, chiaramente, non è più uno stato indipendente dai valori di θ e di ϕ, ma ha una dipendenza da θ0e ϕ uguale a quella della funzione sferica Y 1 ; si può quindi dire che r z “opera” la trasformazione diuno stato s in uno stato p avente m l =0. In modo analogo si può calcolare come opererebbe su unostato con un l qualunque, ad esempio l=1:r02⎡⎛3 2 1 ⎞ 1⎤rzψn,1,0() = rRn1(r)Y1cosθ= CrRn1(r)cos θ = C'rRn1(r)⎢⎜cos θ − ⎟ +2 2 2⎥⎣⎝⎠ ⎦= C''rRn1(r)0 0( C Y + C Y )2200Come si vede, r z trasforma lo stato con l=1 in una sovrapposizione di stati con l=2 oppure l=0, masempre con m l =0.In generale, l’operatore r z opera quindi una trasformazione che cambia di una unità il numeroquantico l di momento angolare orbitale mentre lascia invariato il numero quantico m l , quindi ilcorrispondente elemento di matrice:∞1 2πr r3ml*ml'< ψ (r) | r | ψ (r) >= R (r) R (r)r dr Y cos θ Y d cos θ dϕbzasarà diverso da zero solo se valgono le regole:∫0nln'l'∫ ∫−10∆l = ± 1 ; ∆m l = 0(abbiamo indicato con n, l, m l i numeri quantici dello stato a ed n’, l’, m l’ i numeri quantici dellostato b)Tali regole sono quindi “regole di selezione” della transizione indotta da r z . Non c’è invece nessunaregola di selezione particolare che riguardi il numero quantico n; tuttavia il valore dell’integralesulla variabile r può essere più o meno grande a seconda delle funzioni R nl coinvolte e, diconseguenza, la transizione può essere più o meno probabile e la relativa riga spettrale più o menointensa.In modo analogo si calcola come operano gli operatori r x o r y . Applicando, ad esempio, r x allo stato1s, si ottengono gli stati p con m l = ±1:l0 iϕ−iϕ1r ψ (r ) = rR ( r)Y senθ(e + e ) = CrR ( r)(Y + Yx1100In generale applicando r x o r y allo stato con l e m l qualunque, si ottiene una sovrapposizione di staticon l e m l variati di una unità in più o in meno.r rGli elementi di matrice < ψ r) | r | ψ (r)>seguenti regole:∆l = ± 1 ; ∆m l = ±1b(x,y al'101−11saranno quindi diversi da zero se valgono le)48