Dispense del corso di Elementi di Fisica Atomica e Molecolare

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Regola d’oro di Fermi è principio del bilancio dettagliatoL’espressione2 πW ba = |Vba | 2 δ( (E b -E a )-hω)hè un esempio di regola d’oro di Fermi, secondo la quale la probabilità di transizione per unità ditempo è proporzionale al modulo quadro dell’elemento di matrice dell’Hamiltoniana di interazionetra stato iniziale e stato finale.A volte invece di considerare transizioni verso un particolare stato ψ b è necessario consideraretransizioni verso un gruppo di stati la cui energia è in un intervallo dE intorno a E b .La probabilità totale di transizione per unità tempo e di energia verso tale gruppo si otterràsommando le probabilità di transizione verso i vari stati del gruppo. Se denotiamo con ρ(E b ) ladensità di stati all’energia E b l’espressione precedente diventa:2 πW ba = |Vba | 2 ρ(E b )| δ( (E b -E a )-hω)hConsideriamo ora due particolari livelli a e b in cui ad esempio Eb>Ea caratterizzati da una densitàdegli stati ρ(E b ), ρ(E a ) e consideriamo la velocità di assorbimento e di emissione indotta tra questidue livelli come schematizzato nella figura:ε bε bW baassW abemε aε aAvremoW ass 2 πba (t) = |Vba | 2 ρ(E b )| δ( (E b -E a )-hω) (il livello energetico finale è E b )hW em 2 πab = |Vab | 2 ρ(E a )δ( hω -(E b -E a )) (il livello energetico finale è E a )hDato che |V ba | 2=|V ab | 2 si ha che:Wρ(Eassbab)W=ρ(Eemaba)Tale relazione esprime la simmetria tra emissione e assorbimento ed è nota come principio delbilancio dettagliato.42
1.4.4 Assorbimento, Emissione stimolata e Emissione spontanea di fotoni negliatomi idrogenoidiConsideriamo ora la probabilità di transizione per unità di tempo tra uno stato iniziale ψ a ad unostato finale ψ b indotta dalla radiazione e.m. su un atomo idrogenoideIn tal caso la parte dipendente dalla variabile spaziale dell’Hamiltoniana di interazione è:eik⋅rV em (r)= A(ω) e ε ⋅ pmSe E b >E a possiamo determinare la probabilità di assorbimento per unità di tempo, che vale:W ass 2π⎛ba = ⎜h ⎝em⎞A( ω)⎟⎠2|| 2 δ(E b -E a -hω)Se E b
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